新加坡数学教学策略：1-6年级的模型图

[khu]

分数应用题
介绍
我们已经完成了一半的课程！祝贺你在重塑你的数学教学中发挥了如此积极的作用。相信我，当我告诉你你的学生会注意到你的努力时，当需要弄清楚哪列火车在哪里、何时以及多快时，这一切都会得到回报！

今天，我们将通过深入研究分数来继续我们的模型绘图之旅。与往常一样，我们将从简单的问题开始，然后逐步解决更复杂的问题。分数问题常常让孩子们感到困惑，仅仅是因为很难想象像一天的 5/7 或糖果棒的 3/8 这样的抽象数量。

好消息是分数与“倍数”乘法问题和比率有关，因此成为一个领域的熟练问题解决者可以巩固其他应用问题的成功。在我们开始之前，让我们看一下一些建议，以防止分数问题变得过于混乱。这些是分数模型绘制的黄金法则。

分数问题为我们设置单位条的方式提供了独特的选择。一种方法是绘制一个长的单位条（就像我们在除法中所做的那样）并将其分割以反映分数部分。另一种方法是识别变量（整体的部分）并为每个变量绘制单独的单位条。

明白了吗？这些选择很棒，它们让学生有机会做对他们最有意义的事情，但它们也会引起混乱。这里的信息是，“提供一点指导和大量练习！”

当您在分数应用题中看到单词 剩余 或 剩余 时，请画一个长的单位条，因为您很可能会将剩余部分放入一个新的单位条集合中。这是一个带有余数的示例问题。在 ABC Cookie Company，300 名面包师中有 3/5 制作了糖饼干。剩下的 2/3 的面包师做了姜饼。如果其他人做巧克力曲奇，有多少人做巧克力曲奇？
在这里，我们需要一个长的单位条，我们可以将其分成小数部分。


对于分数问题，我们开始在计算中使用单词 单位 （缩写为 u ）。然后我们专注于寻找基本单位，或者 1u 等于什么。
既然你已经知道分数规则的精髓了，让我们开始解决一些有趣的问题吧。
Problem 1
In the 4th grade, 3/7 of the students are boys. If there are 36 girls in 4th grade, how many students are there altogether?
Problem 2
In the 6th grade, 5/8 of the students are girls. If there are 200 girls, how many students are there altogether?
Problem 3
After spending 1/4 of his money, Frankie had $13.50 left. How much money did he have at first?
Problem 4
Elizabeth spent 1/3 of her money on a purse. This left her with $120.00. How much money did Elizabeth have to begin with?
Problem 5
At Kenwood Middle School, 3/5 of the 570 students were 4thgraders. 2/3 of the remaining students were 5th-graders. If the rest were 6th-graders, how many 6th-graders were there?
Problem 6
Kiley had 1,200 markers. 2/6 of them were red, 3/6 of them were green, and 1/5 of the remaining amount was blue. The rest of the remaining markers were purple. How many purple markers were there?
Problem 7
Luke sold 2/7 of his magazines last week and the rest of them this week. If he sold 30 magazines last week, how many magazines did he
sell this week?

[khu]

简单分数问题
分数的概念对学生来说可能是一个棘手的概念，尤其是当他们不太清楚整体的这些部分如何相互作用时。再加上分数很难想象的事实（你能告诉我 9/16 的馅饼是什么样子的吗？）。难怪学生们经常被分数方程所困扰。应用题使它变得更加困难，因为这不仅仅是做等式的问题 - 这是一个筛选所有信息以确定什么时候重要以及哪个数字去哪里的问题。

幸运的是，我们的模型绘制过程大大简化了这一过程。让我们从一个简单的分数问题开始，这样我就可以告诉你我的意思。您可以继续阅读问题表 1。让我们从阅读我们的问题开始。

问题 1
在四年级，3/7 的学生是男孩。如果四年级有 36 个女孩，一共有多少个学生？

查看该问题中的所有信息。我们有四年级学生，男孩的比例，女孩的数量，以及学生总数的要求。超载，超载！所以让我们慢慢来，首先进入问题的核心：问题是什么？问题是要求找到所有学生。所以，让我们从那里开始。

四年级共有_______名学生。

对于这个问题，我将采用两个单位条的方法，但在我们完成后，我还将向您展示如何解决一个单位条的问题。

接下来，我们在谈论谁Who和什么What？在这个问题中，我们肯定有我们的 Who ：四年级的男孩和女孩。但是我们有什么吗？并不真地。我们只需要知道孩子的数量。所以让我们把这些变量写在论文的左边。


接下来，让我们绘制我们的单位条。我们会让它们变得非常小。（这是一个非常好的提示：当您为分数问题制作两个单位条时，您会希望保持较小的单位。为什么？因为您将向它们添加更多单位以准确反映问题值。但是当你为分数问题制作一个单位条时，你会想要使单位足够大和足够长以允许这些划分。）


现在我们有了单位条，是时候调整它们，以便我们能够准确地反映这个问题的信息。这意味着我们必须从第一句话开始一步一步地处理事情。在这里，我们了解到四年级 3/7 的学生是男孩。所以这意味着我们需要做出改变。目前，我们显示平等的男孩和女孩，现在我们需要显示我们有 3 个单位的男孩。让我们继续将我们的额外单位添加到栏中。


我们还需要做出另一个重要的改变，这是问题没有明确告诉我们的。我们需要画出女孩的单位。我们知道一共有7个单元，其中3个代表男孩。所以其中4个必须代表女孩。让我们在四年级女生酒吧中添加更多单元。


出色的。现在我们可以继续我们的下一句话。我们知道四年级有 36 个女孩，所以现在是时候代表这些信息了。


这是我们的问号线索：我们已经到达了句子中询问我们的部分，“总共有多少学生？” 所以我们已经做出了调整，现在是时候打上问号了。这个问题在问我们什么？几个男生？没有。几个女孩？不，它告诉我们这个数量。相反，它问我们总共有多少学生。

让我们在两个单位栏周围放置括号和问号。


你准备好进行计算了吗？与往常一样，我们将从我们所知道的开始，然后从那里开始。我们知道有 36 个女孩占四年级人口的 4/7，所以让我们从那里开始。


现在我们知道我们总共有 63 名学生，让我们写下最后一句话。

四年级共有学生63人。
做得好！看看我们做涉及分数的多步问题是多么容易。好消息是，一旦加减乘除的基础已经到位，使用这些运算来解决更复杂的问题就很简单了。

所以我答应过你，我也会用不同的方式解决这个问题，这样你就可以看到多样性。让我们现在就开始吧。由于我们已经阅读了我们的问题，让我们找出我们的变量。这一次，我们将绘制一个长的单元条，我们将其分割，而不是为四年级男孩和四年级女孩绘制单独的单元条。让我们看看它是如何工作的。


看——这是一个变量，而不是两个。现在我们可以在变量右侧绘制一个又大又长的单位条。请记住，当我们只使用一个变量时，我们希望我们的单位栏足够大以容纳我们需要在内部进行的所有切片。


接下来，是时候分块我们的信息并调整单位栏以适应这个问题的信息了。我们了解到的第一件事是 3/7 的学生是男孩。因此，让我们首先将我们的长单元分成 7 个部分。 然后我们将为男孩 标记 3 件 B。


我们还知道什么？好吧，如果我们有 7 件，其中 3 件代表男孩，其中 4 件必须代表女孩。 因此，让我们为每个剩余部分 添加一个 G。


然后我们得知四年级有 36 个女孩，所以我们必须针对该信息进行调整。让我们在我们的单位栏上做它。


现在我们问号：总共有多少学生？让我们把它放在我们单位栏的右边。


现在我们像以前一样求解方程，并在下面写下我们的句子。

瞧！同样的问题，同样的答案，但到达那里的方式不同。从现在开始，我将只向您展示解决每个问题的一种方法，但是如果可以，为什么不尝试另一种方法呢？这是一个延长课程的有趣机会。

现在是时候让你像我们刚刚做的那样练习一个问题了。如果您打印了本课程的下载文件，请参阅习题表 2。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 2
在六年级，5/8 的学生是女生。如果有 200 个女孩，一共有多少个学生？

完成解决后，您可以单击下面的视频将您的结果与我的结果进行比较。

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小数的分数问题
你准备好玩一些钱了吗？接下来，我们将解决一个包含小数和美元符号的分数问题。虽然这些问题与我们刚刚所做的问题在本质上没有太大不同，但有一些重要的变化值得注意。首先，实际上只有一个好方法可以解决这个问题。让我们看看如何。

我们将从阅读我们的问题开始，您可以在问题表 3 中进行后续操作。

问题 3
在花掉他 1/4 的钱后，Frankie还剩下 13.50 美元。他一开始有多少钱？
这是在绘制模型之前用操作工具解决的一个大问题。

为什么不买一些 Unifix Cubes 或瓷砖，让您的学生解决问题。这是您可能对他们说的一个示例。

我要给你读一个故事，我想让你用你的瓷砖表示出来。在我阅读这个故事的过程中，我会问一些问题。
在花了他四分之一的钱之后。. . 好的，这是我的第一个问题。如果他花掉了四分之一的钱，你需要多少块牌来代表他所有的钱？把手放在他花费的金额上。现在告诉你的邻居有多少瓷砖没有被覆盖。
很好！让我继续读下去。在花掉了他四分之一的钱后，Frankie还剩下 13.50 美元。现在，请把手放在价值 13.50 美元的牌上。告诉你的邻居多少块瓷砖等于 13.50 美元。请算出一块瓷砖值多少钱。
现在，有了我们所拥有的信息，让我们回到绘制模型。

所以现在我们已经阅读并解决了我们的问题，是时候写出我们的答案陈述了。
起初，Frankie有________。
接下来，让我们找到我们的变量。在这种情况下，我们知道我们正在与Frankie打交道。让我们把他的名字写在纸的左边。


我们也在谈论他的钱，所以让我们在左边添加这个变量。


您准备好添加单位栏了吗？让我们为这个问题做一个长篇大论。


现在是时候调整我们的单位栏来反映这个问题的信息了。我们了解到的第一件事是Frankie已经花掉了他 1/4 的钱。这条信息告诉我们一些重要的事情。首先是Frankie的钱（和单位条）应该分成4块。这就是分数 1/4 告诉我们的。让我们现在进行划分。我们还将在一件作品中添加一个斜线，以表明它已被使用。


这句话还告诉我们什么？那个Frankie还剩 13.50 美元。所以我们可能应该把剩下的 3 个单位括起来，等于 13.50 美元。让我们这样吧。


现在我们到达了我们的问题，这意味着我们需要放置我们的问号。问我们的问题是什么？它首先问我们Frankie有多少钱。这是否意味着在他购买之后？不，这意味着在他购买之前。所以我们需要知道整个单位条代表什么。问号属于单位栏的右侧。


现在是我们计算的时候了。让我们把它放在下面，从我们所知道的开始，即 3 个单位 = 13.50 美元。


花哨的数学，嗯？我们只是在一个多步计算中使用了小数、部分商除和加法。我们已经走了多远！所以现在我们知道Frankie的起步价是 18.00 美元。让我们填写我们的回答声明。

起初，Frankie有 18.00 美元。

现在是时候让你像我们刚刚做的那样练习一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 4。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 4
Elizabeth花了她 1/3 的钱买了一个钱包。这给她留下了 120.00 美元。Elizabeth一开始需要多少钱？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。

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复杂分数问题
当我说我们要回学校时，我不是在开玩笑。这次我们要计算有多少学生去哪里，但我们要跨三个年级而不是一个年级来计算。你准备好迎接挑战了吗？继续并按照问题表 5 进行操作。

问题 5
在Kenwood中学，570 名学生中有 3/5 是四年级学生。其余学生中有 2/3 是五年级学生。如果剩下的是六年级学生，那么有多少六年级学生？

好家伙。这是个大问题，不是吗？我们将像解决任何其他大问题一样解决它：一次一步。让我们从弄清楚我们要解决的问题开始。
Kenwood中学有____个六年级学生。

接下来， 谁和我们的变量是什么？在这个问题中，我们正在与Kenwood中学的学生打交道。因为我们涉及到几个不同的分数，所以让我们保持简单，只使用一个变量： 学生 。


接下来，是时候绘制我们的单位栏了。由于我们只是将学生用作变量，因此我们需要绘制一个长条，以便我们可以在其中进行调整。这是我的。


您准备好调整我们的单位栏了吗？我们将在这里做几个步骤，所以让我们慢慢来。我们得到的第一条信息是 570 名学生中有 3/5 是四年级学生。那么我们该怎么做呢？好吧，我们从 3/5 开始，将我们的条分成 5 块。


然后我们要展示“570名学生”。所以让我们把它写在我们的单位栏的末尾。


接下来，我们必须考虑句子的最后一部分，“是四年级的学生”。当然，这指的是 3/5，所以让我们将 5 件中的 3 件标记为 4th 。


现在，下一句让我们陷入循环，因为它引入了一个带有新分母（不是 5）的分数。其余学生的 2/3 是五年级学生。我们如何证明这一点？好吧，这就是第二条黄金法则派上用场的地方。我们必须将剩余的部分带到一个新的单位栏集。这是一个小魔术，你明白吗？我们将把剩下的 2/5 变成三分之一。然后我们将这些三分之二标记为 5ths 。


下一句告诉我们剩下的第三个是 6 年级的学生，所以我们需要用6th 标记最后一个单元 。当我们在那里时，让我们也在那里打上问号；毕竟，我们的问题是有多少六年级学生？


是时候进行我们的计算了！请打鼓。让我们从我们所知道的开始，就像我们一直做的那样。上面的 5 个单位等于 570，这是一个很好的起点。其余的从那里顺理成章地流动。您会注意到，当我进入计算步骤 B 时，我会将单位名称更改为 section 。我这样做是因为单位改变了价值。因此，我们需要用不同的名称来称呼它们。


我们有它——76 名六年级学生。让我们在我们的句子中做到这一点。

肯特伍德中学有 76 名六年级学生。

现在，您可能想知道我是如何解决我的计算的。我很想和你分享短除法。这是一个很好的工具，可以与那些对除法有很好理解的学生分享。

示例 A
第一步是从最大的位置值开始，然后将 5 除以 5。我将 1 放在 5 的上方，现在移动到 10 的位置。

我能从 7 中抽出多少个 5？我可以从 7 中拉出一个 5，所以我将 1 放在 7 上方，然后乘以 1 x 5 得到 5。


现在，我减去 7 – 5 得到 2。我将 2 放回被除数中，放入 1 的位置。所以我不再处理 0 了。但现在它变成了 20。


我重复除法过程并将 20 除以 5 得到 4。


最后一步是通过乘以 114 x 5 得到 570 来检查我的工作。检查，我是正确的。这里我使用部分产品。我乘以 5 x 4 得到 20。
然后，乘以 5 x 10 得到 50。然后，乘以 100 x 5 得到 500。
最后，我将部分产品相加得到我的最终产品 570。


让我们使用相同的策略将 228 除以 3。

示例 B

首先，我看到我无法从 2 中拉出任何 3，所以我移动到下一个位置值。
我可以从 22 个中拉出 7 个 3。我将 7 放在 22 之上。


我减去 22 - 21 得到 1。
我将 1 放回被除数中，现在我正在使用数字 18，而不是 8。
十八除以三等于六。
我的答案是 76。


我通过将 76 x 3 乘以部分乘积来检查我的答案。


很好。这是一个棘手的问题，但我们很轻松地处理了它。现在是时候让你像我们刚刚做的那样练习一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 6。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 6
Kiley 有 1,200 个标记。其中 2/6 为红色，3/6 为绿色，其余 1/5 为蓝色。其余的标记是紫色的。有多少个紫色标记？


完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。

概括
您现在对解决分数问题有信心吗？但愿如此！稍微练习一下，它们真的不是那么难。更好的是，模型图为我们提供了很好的视觉效果，因此我们可以看到并理解分数的样子。

如果您要使用一个将其分解为多个部分的变量，请记住绘制大条，如果您要使用添加的多个变量来表示您的分数，请记住绘制两个（或更多）较小的条。这是一个很好的指导方针，它将引导您朝着正确的方向解决各种分数问题。

请务必查看本课的作业，以获得另一个练习模型绘图的机会！下一次，我们将了解每加仑英里数和每分钟字数以及所有有趣的东西——是时候解决速率问题了。

到时候那里见！

[khu]

常见问题解答

问：对于分数问题，我仍然无法确定用哪种方法来计算单位条。你能澄清一下吗？
A： 这可能是一个棘手的概念，所以我很高兴你问我这个问题。基本上，每当您解决分数问题时，您都可以选择。您可以绘制一个或两个单位条（或更多，取决于您的问题）。让我带你看一个小场景，看看它是否能进一步澄清事情。

想象一下，你有一个盛着感恩节馅饼的馅饼罐。当你看馅饼罐时，你会发现它完全装满了馅饼，但里面有三种不同的馅饼。有几块苹果派、几块南瓜和一块大黄。你的工作是弄清楚你有多少件，你总共有多少件。这样，您可以将馅饼喂给您的客人。

所以我们必须弄清楚我们的变量。这是我们做出重大选择的地方。我们可以画一个又大又长的单位条，称之为 Pie ，然后将其分割以表示每个单独的部分（一些苹果、一些南瓜和一些大黄）。我们还可以为 苹果派 绘制一个小单位条 ，为 南瓜派 绘制一个小单位条 ，为 大黄派 绘制一个小单位条 。然后我们通过在适当的地方添加单位来调整这些单位条以等于每个饼块。

例如，如果我们有四个苹果派，我们在绘制的基本单位上再增加三个单位。然后我们继续从那里解决我们的问题，根据需要进行调整。

任何一种表示分数的方式都会让你得到正确的答案——这只是选择你的方法的问题。如果它让你更容易，试着用一种方法做每一个分数问题一段时间，这样它就变得自然了。然后，如果您想扩展业务，请在闲暇时进行。

问：模型是他们在新加坡教授的唯一解决问题的策略吗？
答： 不！ 模型绘图是新加坡教师用来教学生解决文字问题的主要 启发式 或学习辅助工具。他们教他们的学生解决问题的策略与我们相同，例如列出清单、猜测和检查、向后工作、制作图表以及解决问题。要记住的重要一点是，他们以具体的、图形的到抽象的光谱进行教学。

新加坡学生在掌握模型绘图方面做得很好，我相信您的学生也会这样做！

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作业
对于今天的作业，让我们练习用模型绘图解决另一个分数问题。这将是锻炼我们技能的好方法！

请参阅问题表 7，或复制以下问题。

Luke上周卖掉了 2/7 的杂志，其余的则在本周售出。如果他上周卖出了 30 份杂志，那么他这周卖出了多少份杂志？


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补充材料

分数问题
这些乐趣减半！

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1.克莱默夫人有香草纸杯蛋糕和巧克力纸杯蛋糕。克莱默夫人 3/8 的纸杯蛋糕是香草的。如果有 15 个香草纸杯蛋糕，有多少个巧克力纸杯蛋糕？
如果我们决定画一个又大又长的单位条，我们的变量是什么？
A. 克莱默夫人。
B. 克莱默夫人的纸杯蛋糕。
C. 香草口味杯子蛋糕。
D. 巧克力纸杯蛋糕。
答案：B

2. 我们应该把长的单位条分成多少个单位？
A. 6.
B. 10.
C. 2.
D. 8.
答案：D

3. 一旦我们调整了单位栏，它会是什么样子？
A.

B.

C.

D.
答案：A

4. 我们的问号属于哪里？
A.

B.

C.

D.
答案：D

5. 我们的最后一句话应该说什么？
A. 总共有 40 个纸杯蛋糕。
B. 有 25 个巧克力蛋糕。
C. 有 15 个香草纸杯蛋糕。
D. 有 100 个巧克力蛋糕。
答案：B

[khu]

速率问题
介绍
您准备好继续解决一些令人兴奋的速率问题了吗？这是我们了解跑车和每加仑英里数的地方（现在这不是一个重要的话题！）以及某人打字的速度和所有这些好东西。速率问题可能会提醒你和你的学生乘法问题，这很好。毕竟，两者之间有很多相似之处。

所以今天我们将深入研究不同复杂度的速率问题。我们将从简单的问题开始，然后处理一个问题，即我们以每秒一定数量的加仑数向水池注水。但在你拿起你的西装和护目镜加入我之前，让我们回顾一下速率模型绘制的两条黄金法则。

对于这些问题，我们需要使用双重标签，因为我们是在比较单位（如英里与旅行所需的小时数或篮子与拍摄它们所需的分钟数）。一个值将进入单元内部，另一个值将进入单元外部，我们会在对每个问题最有意义的地方执行此操作。我们必须小心地整齐地标记这些值，以便我们可以保持它们都是正确的。
我们可以使用小的或大的单位条，这取决于问题的信息。

Problem 1
Andrew can type 55 words per minute. How many words can he type in 8 minutes?
Problem 2
Eddie can write 15 short poems an hour. How many poems can he write in 3 hours?
Problem 3
A green car traveled 360 miles on 6 gallons of gas. How far could that same car travel on 10 gallons of gas?
Problem 4
A tugboat traveled 1,200 miles on 60 gallons of gas. How far could this tugboat travel on 90 gallons of gas?

Problem 5
A pool is filled with water at the rate of 75 gallons every 6 minutes. How long will it take for the pool to fill with 375 gallons of water?
Problem 6
Bathroom tile is placed at a rate of 25 tiles every 5 minutes. How long will it take to place 500 tiles?

Problem 7
If a sports car can travel 330 miles on 6 gallons of gas, how far could it travel on 4 gallons of gas?

简单速率问题

如果两辆车从不同的城市出发，你是否曾经害怕过这样的问题：两辆车能多快到达同一个地方？好吧，速率问题让我们不寒而栗是有原因的，通常是因为我们不知道如何解决它们。每个问题似乎都需要一种不同的方法，而且很难保持直截了当。

幸运的是，这些问题并不像看起来那么难。现在，这并不意味着我们在解决它们时会得到免费的花生和饮料（如果每个飞机问题都带有这样的便利设施），但这确实意味着我们不再害怕这种数学. 让我们看看为什么！我们将从一个关于打字的简单问题开始。您可以按照问题表 1 进行操作。

问题 1
Andrew每分钟可以输入 55 个单词。他8分钟能打多少字？

现在我们已经阅读了我们的问题，让我们写下我们的答案陈述。
Andrew可以在 8 分钟内键入 _____。
现在我们知道我们在说谁，让我们把他的名字写在纸的左边。


我们在谈论Andrew的什么？没错——他每分钟打的字。让我们将该变量添加到他名字的右侧。我将把它缩写为 wpm ，你可以随意做同样的事情。这是一个很好的节省空间。


下一步是什么？好吧，我们需要给Andrew他的单位栏。我们将从一个小的开始，因为我们需要在下一步中进行一些调整。同时，我们要将我们的两个标签添加到单位栏。


这是提醒我们在这个问题中比较的两个单位的好方法，不是吗？我们有一个很好的视觉效果来提醒我们，我们正在谈论 Andrew 的会议记录和他的话。

学生最苦恼的一件事是进行速率问题所需的苹果和橙子的比较。这很自然——要同时处理两个不同的变量并不容易。为了帮助学生理解评分问题的工作原理，我们要强调的是，我们可以很容易地将 分钟 放在单元中，将 单词 放在单元外。测量单位的标签通常无关紧要。

所以现在是时候调整我们的单位栏来反映这个问题中的信息了。让我们从头开始。我们了解到的第一条信息是安德鲁每分钟输入 55 个单词。所以让我们用里面的 55 和顶部的 1 来更新他的单位栏。


我们的单位栏现在向我们显示 Andrew 在 1 分钟内键入了 55 个单词。让我们继续阅读。我们得到的下一个信息是，在这个问题中我们需要考虑 8 分钟。所以让我们更新我们的单位栏。我们还需要添加多少个单位？8？错误的！请记住，我们总共需要 8 个，我们从 1 开始。我们需要添加 7。


出色的。接下来，我们需要添加我们的问号。这个问题在问我们什么？分钟数？不，它给了我们这个数字。它询问我们的总 wpm。所以让我们在某个地方添加我们的问号，它反映我们正在寻找总数。有任何想法吗？


出色的。我们现在准备好进行计算了。与往常一样，我们将从我们所知道的开始，即 1 个单位 = 55 个单词。然后一切都会从那里流出。


那只是简单的乘法，不是吗？许多速率问题确实归结为基础。所以现在我们知道 Andrew 在 8 分钟内输入了 440 个单词，是时候写我们的句子了。

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Andrew可以在 8 分钟内输入 440 个单词。

（您可能想知道我是如何解决我的计算的。我使用了分配属性。我将多位因子分解为五组 10 和五个 1。然后，我将这两个部分（50 和 5）分别乘以单个数字因子8. 最后，我将这些部分加在一起，得到了 440 字的产品。）

在那里，我们对第一流的问题有了一个成功的答案。现在是时候像我们刚刚做的那样练习一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，参阅习题表 2。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 2
Eddie 每小时可以写 15 首短诗。3小时能写多少首诗？

完成解决后，您可以单击下面的视频将您的结果与我的结果进行比较。


嗯，你是怎么做的？下一次，我们将解决一个稍微复杂的费率问题，它涉及当今最珍贵的商品之一：汽油。

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旅行换算率问题
在本节中，您会注意到我们的速率问题有一点不同。它们不仅涉及旅行，而且还以比我们以前使用的更多的单位数量开始我们。例如，假设我们现在的问题是 Andrew 在 5 分钟内输入了 55 个单词，我们必须计算出他在 15 分钟内输入了多少个单词。这有点不同的基线，不是吗？

但是，您会很高兴知道解决问题的方法基本相同。我们只需要进行一些不同的调整，以便我们的单元匹配问题信息。让我们从简单的开始，弄清楚一辆绿色汽车可以行驶多远。您可以按照问题表 3 进行操作。

问题 3
一辆绿色汽车以 6 加仑汽油行驶了 360 英里。同一辆车用 10 加仑汽油能行驶多远？

让我们写下我们的回答声明。

绿色汽车可以 _______ 行驶 10 加仑汽油。

那么我们在这个问题中处理哪些变量呢？我们没有看到名字，是吗？没有！在这种情况下，我们的 谁将 成为 绿色汽车 ——那是我们不太活着的 人 。让我们将其添加到论文的左侧。


现在， 我们在处理什么 ？ 车的里程。因此，让我们将其添加到我们已经拥有的变量中。


下一步是什么？我们需要为绿色汽车的里程绘制一个单位条。所以让我们画一个长的，因为在这种情况下，我们需要做一些划分。


现在是时候在重新阅读问题的每个句子时调整我们的单位栏了。第一句话告诉我们，这辆车以 6 加仑汽油行驶了 360 英里。所以让我们首先在我们的单位栏上方写上 360 并放置一个括号来表示它跨越整个事物。


接下来，让我们调整一下 6 加仑。我们怎么能做到这一点？通过将单位条分成六块，每加仑汽油一个。让我们也添加我们的标签。


下一句提出了我们的问题，提出了汽车使用 10 加仑汽油行驶的场景。所以我们需要再做一个细微的调整。让我们再添加 4 个单位来表示我们的 10 加仑，这样我们就可以适当地放置问号。


现在我们准备好打上问号了。它应该去哪里？没错——在酒吧的尽头。毕竟，我们需要知道这 10 加仑汽油能行驶多少英里。


这是计算时间。让我们在下面做我们的，因为我们有这么长的单位栏。与往常一样，我们将从我们所知道的开始，即 6 加仑 = 360 英里。从那里，我们可以划分出 1 加仑等于多少。然后我们可以乘以计算出 10 加仑等于多少英里。


我们去吧。现在我们发现，我们的绿色汽车在 10 加仑汽油的情况下可以行驶 600 英里。这不是坏油耗！我们在哪里可以买到这些神奇的汽车？

所以我们需要做的最后一件事是填写我们的回答声明。
这辆绿色汽车可以用 10 加仑汽油行驶 600 英里。
这是您可以用于此应用题的替代模型：


优秀作品。现在是时候像我们刚刚做的那样练习一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 4。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 4
一艘拖船以 60 加仑汽油行驶了 1,200 英里。这艘拖船用 90 加仑汽油能行驶多远？

完成解决后，您可以单击下面的视频将您的结果与我的结果进行比较。



下一次，我们将解决一个稍微复杂的费率问题，该问题涉及每个人最喜欢的后院部分：游泳池。

[khu]

更复杂的速率问题
您准备好深入研究另一个费率问题了吗？让我们计算一下需要多长时间才能填满水池。您可以继续阅读问题表 5。让我们阅读我们的问题。

问题 5
一个水池以每 6 分钟 75 加仑的速度注满水。游泳池需要多长时间才能装满 375 加仑的水？

读完问题后，让我们写下我们的答案陈述。

用 375 加仑的水填满游泳池需要____。

现在是时候弄清楚我们的变量了。在这种情况下， 谁将 成为游泳池，对吧？这是合乎逻辑的选择。


关于游泳池，我们在谈论什么？正确——它是每分钟加仑水。让我们在左边添加它。


你会注意到我用 gpm 缩写为加仑每分钟 。只要我们知道我们在说什么，就可以进行这些替换。
接下来让我们绘制我们的单位栏。我们会做空，因为我们需要添加它。


现在是时候逐段重读我们的问题了，边做边调整。让我们从第一句话开始，它告诉我们一个水池以每 6 分钟 75 加仑的速度填满。所以我们拥有的单位等于 75 加仑。


我们还能从这句话中学到什么？这 75 加仑在 6 分钟内过滤。 所以让我们用6 mins 标记这个单元 。


我们的下一条信息是，我们需要计算将 375 加仑水填满游泳池所需的时间。所以让我们添加到我们的单位栏，让它成为一个长的添加。


所以我们已经反映了整个单位栏现在将等于 375。现在让我们打上问号。它属于哪里？好吧，我们需要算出用 375 加仑的水填满游泳池总共需要多少分钟，所以让我们将问号放在单位栏的末尾。


接下来是添加我们的计算的时候了。我们从哪里开始？（你厌倦了我问这个问题吗？）好吧，让我们从我们所知道的开始，将我们的总加仑分成 6 分钟（或 75 加仑）的部分。


我们有它——30 分钟！让我们写下我们的句子。


做得好！这个问题有点像第 3 章中的那个问题，不是吗？现在是时候像我们刚刚做的那样练习一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 6。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 6
浴室瓷砖每 5 分钟放置 25 块瓷砖。放置 500 块瓷砖需要多长时间？

完成解决后，您可以单击下面的视频将您的结果与我的结果进行比较。



概括
好的，如果一个学生需要 2 小时完成一堂模型绘图课，而该学生还有 4 节课要完成，那么该学生需要多少小时才能完全精通模型绘图？8！你一路走好。

今天我们解决了那些涉及每分钟字数、旅行、加仑和水池的有点棘手的速率问题。我们所看到的是，大多数速率问题归结为简单的乘法和除法。毕竟他们没那么可怕。

下一次，我们将处理类似类型的问题：比率。我们将有 10 次玩得开心。

[khu]

常见问题解答
问：我真的很喜欢我所学到的关于模型绘图的知识，但我对将其作为学校的教学策略实施感到紧张。如果我忘记如何解决问题或在学生面前搞砸了怎么办？
A： 嗯，首先，我要祝贺你学习模型绘图以及它如何提高你的数学课程。学习一种全新的做事方式并不容易，但正如您可能开始看到的那样，付出努力是值得的。

我设计了这门课程，其中包含大量视图和图形以及精确扩展您的学习的机会，因此您将有大量时间练习模型绘图，甚至可以在学生身上尝试。如果你利用了第 2-4 章末尾的所有练习题、作业中的那个练习题，以及补充材料部分中提供的那些额外问题，你将有能力通过本课程结束。

练习是这里的决定因素——你做得越多，你就会越好，就像其他任何事情一样。也就是说，当您为新概念建模时，自然会有一些担忧。如果您忘记了第三步或计算太快而搞砸了一步怎么办？没有人是完美的。我建议您打印我补充材料部分中提供给您的模型绘制过程。如果您将这些过程张贴在您进行建模的显着位置（并给每个学生一份副本），那么迷路要困难得多。

即使你这样做了，这个过程也会引导你回到坚实的基础。更好的是，通过向学生询问你已经看到我一次又一次地问你的那种探索性问题，你会发现他们可以帮助你设置每个问题，因为他们看着他们自己的七个步骤。

但即使是我们当中最优秀的人，有时也会偏离轨道或赶上进度，在单位条标记或计算中出错。没关系。向你的学生展示你是人类——这并没有什么坏处。如果一个问题误入歧途，请退后一步，并向学生保证你明天会重新审视它。这会给你一些时间来思考它应该如何发展。

作业
对于今天的作业，让我们练习用模型绘图解决另一个费率问题。这一次，我们坐在跑车的驾驶座上。想象一下，当你解决这个问题时，你自己开着酷炫的奔驰或宝马在高速公路上飞驰！

请参阅问题表 7，或复制以下问题。

如果一辆跑车可以用 6 加仑汽油行驶 330 英里，那么它可以用 4 加仑汽油行驶多远？

解决问题后，请通过查看下面的图片检查您的答案。


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补充材料

速率问题
你渴望更多的速度率吗？

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一批糖霜可以用 9 杯糖霜做 180 个纸杯蛋糕。糖霜可以用 12 杯糖覆盖多少个纸杯蛋糕？
1.在这个问题中，我们的变量是什么？
A.纸杯蛋糕的糖霜。
B.糖的纸杯蛋糕。
C.糖霜的糖。
D.批的糖。
答案：A

2. 在下面的选择中，我们应该为这个问题绘制什么样的单位条或条？
A.真的很短。
B. 一个完美的正方形。
C.两个相等的。
D.真长啊。
答案：D

3. 在下面的选择中，在我们重读第一句话并进行调整后，我们的单位栏应该是什么样子？
A.

B.

C.

D.
答案：B

4. 我们在酒吧中添加多少单位来反映 12 个杯子？
A. 3
B. 2
C. 12
D. 1
答案：A

5. 我们的最后一句话应该读什么？
A. 加上 12 杯糖，糖霜可以覆盖 180 个纸杯蛋糕。
B. 240个纸杯蛋糕。
C. 加上 12 杯糖，糖霜可以覆盖 240 个纸杯蛋糕。
D. 糖霜将包含 12 杯糖。
答案：C