新加坡数学：数感和计算策略

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问题解答
问：你有更多的部分整体游戏建议吗？我喜欢这个概念，并希望在我的课堂上进一步探索它。
A:是的，这对你来说很有趣。在地板上扔几个呼啦圈，并要求学生分成你给他们的整数的部分。

例如，如果您将 15 名学生放在三个呼啦圈前，并要求他们分成三组，总共 15 人，他们可以自己组成呼啦圈组。也许你会在每个篮筐有五个学生，或者在一个篮子里有三个学生，在另外两个篮子里有六个学生。

这是将数字链接带入生活的一种非常有趣的方式。如果您不想购买呼啦圈，只需将地板上的方块用胶带粘上，让学生跳进去。

问：您还有推荐哪些其他类型的计数活动？
A:嗯，把你的数数活动带到户外面是很有趣的。例如，在另一个班级进行体育课时，将学生带到操场上。让学生数一数穿红衬衫或短裤的学生人数。或者数三棵树的数量。
或者你可以把学生带到图书馆，让他们跳过计算某个部分的书籍数量。你还能想到什么其他的想法？发挥创意，玩得开心。

问：对估算活动还有其他想法吗？
答： 当然！为什么不尝试变得科学呢？用食用色素给几品脱不同颜色的水上色。例如，假设我们将其中一些设为黄色，而将其中一些设为蓝色。用黄水装满一个杯子，让学生知道它是一个杯子。
然后用蓝色的水装满另一个杯子，并告诉他们那也是一个杯子。问他们认为用绿水装满一加仑水罐需要多少杯。他们可以查看每个杯子并使用估算技能来想象有多少杯子会进入一加仑。
在每个人都做出预测之后，施展你的魔法，将等量的每种水颜色倒入加仑罐中。制作一加仑绿色需要多少杯？
如果您稍微考虑一下，您将能够想到许多其他活动。

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数感：重新思考数学障碍学生的算术教学在新窗口中打开
虽然这篇文章是针对那些教有学习障碍的学生的，但值得一读。这篇文章在阅读和数学之间的相似之处真的令人印象深刻！数感对于数学来说就像音素意识对于阅读一样不可或缺。

估计未知数量在新窗口中打开
如果您正在寻找有趣的估算活动，请查看此网站。
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1.什么是跳跃计数？
A.连续计算偶数和奇数。
B.按逻辑顺序从一个数字数到下一个数字。
C.按顺序倒数。
D.分组计数。
答案：D

2.跳过计数准备学生做什么？
A.乘法和除法。
B.链接(bonding)。
C.几何学。
D.微积分学。
答案：A

3.我们在 Bizz Buzz 中做什么？
A.制作数字链接。
B.死记硬背Rote counting和跳跃Skip计数。
C.估计。
D.使用数字手链。
答案：B

4.复读时应该做的一件事是什么？
A.保留有关学生进度的数据
B.邀请演讲嘉宾。
C.期望在一周内掌握。
D.同时教授多个概念。
答案：

5.哪个是具体的估算活动？
A.计算图片中的项目。
B.一个宝藏箱。
C.拼出一个谜题来估计它所代表的东西。
D.地理课。
答案：B

[khu]

介绍
既然您了解了数感的基础知识，您准备好以新加坡的方式发现位值教学了吗？密集的数感和位值教学是真正使新加坡课程与众不同的两件事。因为他们围绕这些基础构建一切，所以他们以“整体”的方式处理数学。（好吧，你会在这门课上学到一些老生常谈的数学笑话。）

但严肃地说，通过将部分整体思维、计数、估计和位值指令整合到每个计算策略和操作中，新加坡教师为学生做好了非常好的准备。新加坡数学专业的学生是数学思想者，他们能够轻松熟练地解决新问题，将知识应用于各种问题，并了解不同类型方程式之间的关系。现在，您的学生可以享受同样的信心。

所以今天我们来说说数感指令的第四条关键：位值指令。我们的大多数学生至少已经初步了解了位值。但这通常意味着他们知道他们正在查看的数字相对于小数点，或者基于它们相对于其他数字的左右距离。这通常并不意味着他们理解数字 1，例如，如何成为 1 或组成 100 或 1,000。我们的工作就是为此做点什么。为什么不教学生真正重视他们正在查看和使用的数字呢？

在本课中，我们将了解为什么位值如此重要，以及如何使用豆子和豆棒、位值垫、位值盘和位置值条来教授它。认为您无法在课堂上将位值教学带入生活？离得很远。

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什么是位值Place Value？
以Math Land 地图表示的位值图表，分为3 列：百城、十镇和单村。

从前，有一个男孩叫1。他住在Math Land的单村Single Village。每天，1 都会和他的其他朋友一起玩，也叫 1。事实上，单村Single Village的每个人都是 1。有时，1 和他的 15 个朋友会聚在一起，去十镇，在那里他们会见面玩和他们的朋友，10 多个。但是当他们从单村越过边境到十镇时，发生了一件有趣的事情。一组十个 1 变成了一个 10。其他五个 1 保持为 1。他们会那样玩，然后他们会回家并再次变成1。

同样的魔法发生在10前往百城的时候。一组二十个 10 变成了两个 100。他们会和其他100人一起玩。事实上，有一天，1 变成了 10 的一部分，变成了 100 的一部分。他简直不敢相信自己的眼睛。但是一旦每个男孩和女孩回到自己的城镇，他们就会再次成为自己。这是一个非常奇怪的现象。

很快，1 开始向他的 1 父母询问一些关于此的问题。他们解释说，组合在一起的 1 可以组成 10 和 100。但 1 不太明白，因为他认为自己只是一个 1。所以他的父母继续解释这一点，并告诉他一些小东西如果重新排列可以形成越来越大的东西。他们说这被称为位值游行。

为了更好地了解，1开始带着越来越多的探险队前往十镇和百城。有时，他会成为 10 的一部分。其他时候，他会成为 100 的一部分。但当他回到单村时，他总是可以回到自己 (1)。对 1 来说，这就像魔法一样，他决定用他的余生在不同的地方旅行和改变数量。我的朋友，这就是地方价值在现实世界中以及在单村、十镇和百城中真正发挥作用的方式。

Place value当然，是指基于数字的数字的值位置。所以在 5,000 中，5 不仅仅是一个 5——它指的是 5000，而不是 5 个。所以在另一个数字中，比如 785，5 确实意味着 5 个。数字 5 可以改变位值。就像 1 和他的 9 个朋友一起变成 10 一样，其他数字齐心协力改变了局面。这对学生来说是一个相当困难的概念，你不觉得吗？

毕竟，我们的大多数学生已经对地方价值有完全不同的了解。他们认为它是 5 或 1 保持不变，但只是向左或向右移动。这有点准确，也有点不准确。是的，这就像 1 穿越十镇的西部边界，但不，它不像 1 保持不变，只是移动位置。这完全是关于 1 如何（与它的伙伴）改变以形成 10。让我们多学习一点。

位值的重要性
好吧，这一切都很好，但为什么这么重要呢？有几个令人信服的理由让位值教学成为我们数学课程中的明星。

它为我们提供了上下文：位值以及数感提供了数学上下文，因为这两个基础部分将数字从纸上的字符转换为现实生活中的等价物。看，2 x 5,000 并不意味着很多，如果它只是在页面上写一些东西，但如果我们知道我们要加倍 5,000 来制造两倍数量的铅笔、回形针或小猫，它就意味着一些东西。
看，如果我们只是教学生 2 x 5,000 = 10,000 并期望他们记住它（这是我们在传统算法数学中所做的），我们无法知道学生是否理解他们在做什么。难以理解 2 的含义和 5,000 的含义的学生在进位时遇到了麻烦。当需要分数和小数时，问题会呈指数级增长。

让我们看看为什么。Susan是一名五年级学生，从小学习传统数学。她可以完成 2 x 5,000 的等式，但她在二年级时记住了 5 x 2，并且熟悉乘法中的带零和加零。她可能不明白她所做的是将 5 个 1,000 乘以两次。这意味着她可以解决这个问题，但她不知道它与一般数字的关系。而且她不一定知道如何转移这项技能并解决3 x 6,000。

现在让我们假设 Erik 是一名学习新加坡数学的五年级学生，并且他有很多练习来发展数感和理解位值。对他来说，2 x 5,000 看起来更像这样。

你看得到差别吗？ Erik 了解 5、2 和 0 的运作方式以及问题的一般意义。 另一方面，苏珊只是在做死记硬背的乘法。 相比之下，苏珊很可能会经历以下恶性循环：

• 难以完成各种难度的数学问题。

• 难以理解数学背后的含义。

• 麻烦在她面前的问题之外思考。

• 如果答案错误，则无法调整她的计算。

• 令人不安地判断答案是否正确。

这是一个整体（我无法帮助自己！）许多问题，不是吗？ 这些基础部分真正填补了了解数字是什么和了解它们的含义之间的空白。 当涉及到数学时，这是一个相当大的问题。

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• 它帮助学生拓宽他们对部分整体思维的理解，包括 1 是 10 的一部分，10 是 100 的一部分，等等：位置价值教学是部分整体思维的终极练习。与认为 100 中的 1 只是后面有几个零的 1 相比，理解 100 中的 1 意味着 100 个 1 的学生在数学上遥遥领先。

• 它培养了现实世界的资金管理技能：在建立对金钱的理解方面，地方价值指导可能最相关。货币方程式与部分整体思维、位置价值（将这些美分加到美元后面）和实际购买力密切相关。
  您是否不希望您的学生明白虽然 2 大于 1，但两角钱中的 2（0.20 美元）实际上小于 1.00 美元中的 1？

• 它加强了数字关系：在我多年的教学中，我注意到一件事是我最好的数学家理解数字之间的关系——而不仅仅是现在恰好在他们前面的数字。位值指令是我们向学生展示数字交换和重新排列以进行新组合的方式的地方。
  当我们试图让学生理解 10 与 20 或 200 或 4,567 之间的关系时，它会大有帮助。如果我们可以教学生这些数字中的每个数字都具有基于其位值位置的唯一值，那么他们就会开始理解数字的“可互换性”。例如，10s 点可以取 0-9 之间的任何数字，但我们输入的每个数字都有不同的值。这对您或我来说可能看起来很简单，但我向您保证，很少有学生真正掌握了这个概念及其实际应用。

因此，既然您知道地方价值教学对您的数学课程有多重要，那么让我们来谈谈新加坡教这一重要概念的方式。得知新加坡数学有一些有趣的活动来教授位值，您可能不会感到惊讶。它们都集中在让学生在小学理解 1、10 和 100 的核心上。

首先，我们会遇到豆棒，然后我们将了解位值垫、圆盘和条。最后，我们将学习通过对位值的深刻理解，使学生能够胜任地使用数字。是的，随着我们的发展，我们将从具体到图片再到抽象的地方价值表示。

会议豆棒
教授位值的最具体的方法是使用豆子和称为豆棒的工具。 豆子只是干豆子——代表数量 1-9。 如果我想代表 4，我数出四个豆子。 简单，一对一的比例。

为了代表更大的数量，我们将 10 个干豆粘在一根木棍上来制作豆棒。 这些混凝土材料易于学生制作和使用。 学生使用他们的数数技巧数出 10 个豆子（通过死记硬背或跳跃计数），然后用胶水将这些豆子粘在木棍上。

您的学校供应室可能拥有制作豆棒所需的所有材料：冰棒棍或木制压舌板和干豆。但是，即使您的供应柜已用完，如果您去工艺品商店购买这些材料也不应该让您花费多少钱。

很好，但有什么意义呢？豆子和豆棒代表从 1 到 100 甚至更多的实际数量。如果我们制作多个豆棒，我们可以同时了解十位和个位以及百位。如果你让学生自己做棍子，你真的把学习提升到了一个新的水平——给他们一个具体的和动觉的活动来强化10个做一个10个。那么20个有多少？学生可以跳过数两根豆棒上的豆子来找出答案。

做80根豆条需要多少根？学生可以看一看。这是最好的具体的位值指令。学生们喜欢制作这些棍子，然后与他们一起了解不同的数字及其位值。那么83长什么样子呢？八根豆条和三颗豆子。 94？九根豆条和四颗豆子。看看豆子和棍子的用途有多广？
看看你可以使用这些棍子的一种方式。

我：好的，今天我们桌上有 10 根豆条。 谁能告诉我桌上有多少豆子？
Jasmine：10？
Mickey：100。
我：米奇，你是怎么到100的？
Mickey：因为每根有 10 颗豆子和 10 根。
我：很好。 所以我们每根棍子上有 10 个豆子和 10 个棍子。 这相当于 100 个豆子。 如果我想把 20 颗豆子拉到一边怎么办？ 我需要多少根棍子？
Kevin：两个。
我：很好。 或者，如果我想将四根豆棒和两根豆棒组合在一起怎么办。 我一共有多少个豆子？
Raul：60？
我：太好了！

你看到豆子和豆条是如何在为加法和乘法奠定基础的同时加强地方价值、部分整体思维和计数的吗？ 我喜欢这些教具如何很好地融入到这个课程中。
因此，既然您知道如何以具体的方式教授位值，让我们继续介绍位值垫，它可以帮助我们将这个概念提升到一个新的水平。

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位值垫
您看到位值垫了，但今天，您实际上将有机会使用位值垫。你兴奋吗？位值垫是新加坡计算策略的核心部分之一——我们将垫子用于从建立位值指令到执行加法和除法的所有事情。我喜欢这些简单的垫子可以做双重和三重任务——而且它们不花你任何钱。更好的是，学生喜欢用他们工作。我认为这是因为我们与它们一起使用的垫子和操纵装置看起来像棋盘游戏。谁不喜欢好的棋盘游戏？

那么究竟什么是位值垫呢？它们是可用于将数字分解或分解为位值的图表。另一种看待这一点的方式是，垫子为我们提供了一种将数字分解为扩展形式的具体方法。您可能还记得扩展形式显示数字中每个数字的值的总和。例如，304 变为 300 + 4 = 304。

借助位值垫，我们为这种分解提供了具体的背景，这使得学生能够非常容易地了解有关地价的更多信息。这是垫子：它有一个百列、一个十列和一个个列。

并且您使用不同的操作符（如豆子或豆棒或圆片）来表示数字量。 单个豆、豆棒或价值盘都可以让我们代表我们正在使用的数字的实际数量。 每个学生需要一张垫子和一堆大约 100 颗干豆和 10 根或更多豆棒才能开始。 让我们尝试用豆子在垫子上表示 3。

现在，如果我们想代表 13 怎么办？ 我们怎么能这样做？ 用豆子和一根豆棒，代表10个豆子。 首先，我会问我的学生 13 中有多少个十。然后我会要求他们在十列中放置一根豆棒。 接下来，我会问他们 13 中有多少个。然后我会要求他们在该列中放置三个豆子。

这是一种非常成比例的表示数量的方式，当您第一次重新教学或教幼儿时，它非常棒。 随着您的孩子越来越习惯于使用这些具体的数量表示，您可以进一步学习更抽象的具体位值指令形式：使用带有位值盘的垫子。 这些磁盘用颜色编码并代表不同的数量。 在小学阶段，我们一般使用基本盘：1s、10s、100s。

但是有些磁片（和垫子，就此而言）超过了数百列。 这些圆盘是 bean 计数器的更抽象形式，因为它们不成比例——1 圆盘和 10 圆盘除了标记和颜色不同外是相同的。 使用它们可以帮助学生从一对一的表示（1 个豆子等于 1，一根棍子上的 10 个豆子等于 10）转移到更抽象的表示（1 个圆盘和 10 个圆盘看起来是相同的数量，但代表不同的数量）。 首先，学生每个磁盘只需要大约 10 个。

让我们看看如何用磁片表示 3。

或13：

您看到位置值垫和磁片如何帮助我们将数字分解为它们的位值部分吗？ 正如你可以想象的那样，它们让学生对数字的部分和整体有一个非常具体和相关的理解。 所以通过练习，学生可以很容易地将 435 分解为四个100的磁片、三个的10 磁片和五个1的磁盘。

为什么分解能力如此重要？ 因为它强化了部分整体的思考和计数技能，让学生具体理解数字是什么，这样他们就可以估计和执行方程式。 还记得我一直在谈论的分层吗？ 这是我们看得很清楚的地方！ 可以分解数字的学生可以更轻松地进行计算，因为他们了解他们正在使用的数字的价值。

那么你准备好自己练习分解几个数字了吗？ 试一试吧。 如果我们有 821 怎么办？ 尝试单击并拖动八个 100 磁片、两个 10 磁片和一个 1 磁片到下面的正确列中。
您是否注意到分解数字变得多么容易？看——具体的扩展形式真的很容易，不是吗？我的学生实际上很喜欢使用位值垫和磁片。我为他们打印垫子，然后帮助他们剪下他们着色的纸盘。 （1 个磁片是白色的，10 个磁片是红色的，100 个磁片是橙色的。）或者如果这看起来工作量太大，我可以将磁片打印在彩色纸上，将它们层压，然后让父母把它们剪下来。无论哪种方式，每个学生都有自己的一套材料来理解地方价值。你猜怎么着？它不花费我任何东西！

它也不会花费你任何东西。只需查看本课补充材料部分中的免费模板即可。从这些 PDF 文件中，您可以打印任意数量的位垫和磁片。我什至提供了一组已经着色的磁盘。因此，如果您有一台彩色打印机，您甚至不必要求学生对自己的磁盘进行颜色编码。只需看看这些手工制作的操作工具。

所以这里我们有我们基本的位值垫。它有个列、十列和百列。我们也有我们的自制和家常颜色的位值片。我们有
数百个橙色的筹码（只是普通的旧橙色蜡笔），数十个带有红色蜡笔着色的筹码，当然还有一些筹码印在白纸上，不需要任何着色。
正如你所看到的，这些都是以一种基本的方式被剪掉的。它们并不完美，也不需要如此。重要的是我们有价值观，我们有色彩
原封不动：表示橙色、红色和白色对应的正确值。因此，我将继续向您展示如何使用位值垫。我们将继续并将号码放在
我们的垫板。因此，假设我们想将数字 33 放在我们的板上。所以我们要从右到左开始；我们从我们的列开始。我们将在我们的磁片上放置三个
在那垫板上。所以我们有我们的三个。然后我们将放置三个 10 筹码来代表这 30。所以总的来说，你可以看到我们总共代表 30 和 3
33.

现在，如果我们想做一些不同的事情，我们可以清理我们的棋盘，把筹码放回他们的小堆里。我们可以说。 . .也许做205号。所以我们会采取
五个1的筹码和两个100的筹码。我们不需要任何10的筹码，因为除了零 205 之外，十位列中没有任何内容。

然后，当然，如果我们把筹码加起来，我们有两百零五个。这只是使用位值垫的一种非常简单的方法。它不会花费你太多，而且孩子们实际上喜欢在芯片上着色以制作不同的颜色编码。

如果您想将位值垫转换到下一个级别（图形），这很简单。 您可以在白板上使用位值垫和磁盘，而不是将它们用作具体的操作工具。 由于学生手中不再有材料，因此将活动过渡到画板。 看看用新加坡数学区分你的教学是多么容易？

接下来，我们将讨论通过放置价值条来变得更加抽象。

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放置位值条
你有没有享受过其中一种七层的墨西哥卷饼蘸酱？ 你知道——有豆子、奶油奶酪和酸奶油、莎莎酱、生菜、奶酪、碎薯条和橄榄的那种？ 你真的必须在里面放一个磁片才能得到所有七层的蘸料，但是男孩，值得吗！ 好吧，位值带让我想起了这次下跌。 为什么？

因为它们是数字条带，您可以将它们组合成层来表示数字的值。 例如，要显示 125，您将选取 100 条，覆盖 20 条，然后覆盖 5 条。 我会对我的学生说，“我们有数字 125，所以让我们将这个数字分解为位值部分。数字 125 有多少个 1？是的，五个值为 5 的 1。数字 125 有多少个 10 有？是的，两个价值为 20 的 10。125 有多少个 100？对，一个价值为 100 的 100。 看一看。

一旦你通过所有层，你会看到数字 125 的扩展形式。 我喜欢它！ 更好的是，位值条强调分解、部分整体思维和扎实的数感。 它们为学生提供了一种将视觉与直接使用数字的抽象概念配对的好方法。 因此，让我们尝试使用位值条来分解一些数字。 请注意，颜色对应于我们用于彩色位值磁盘的相同方案！

好玩，嗯？现在，我知道你在想什么：嘿，我已经习惯了以各种方式分解数字。这很简单！正确的？我同意。这对我们来说真的很容易，但我们经常认为这是一项理所当然的技能，我们的学生从来没有得到适当的发展机会。

因此，我们非常值得花时间将这些简单的概念带入我们今天的课堂，并让我们的孩子们在明天的数学生涯中获得更光明的机会。为了让你变得超级简单，我在补充材料部分中包含了位值条模板。

您可以使用这些条带制作自己的位值操作符，无论您是打印预着色的还是让学生自己着色。 （一个是白色的，十个是红色的，数百个是橙色的，数千个是黄色的，一万个是绿色的，十万个是蓝色的，数百万个是紫色的。）玩得开心！

无论您是从豆棒开始，然后移至垫子和圆片，还是仅使用位值条，您都会从与学生分享这些位值材料中获得很多乐趣。数学不必枯燥！

概括
那么，你相信位值教学的价值吗？但愿如此！而且您已经习惯了使用 Singapore Math 强大的教育工具：豆棒、价值垫和盘，以及价值条。您可能注意到的一件事是，新加坡数学确实兑现了其教授从具体到图形到抽象的概念的承诺。

这种学习轨迹非常重要，尤其是对于目前（或一直在努力）数学的学生来说。花时间从具体的位值表示（如豆棒）到抽象的表示（使用没有具体或图形表示的数字和方程）是非常值得的。如果你还不相信，你肯定会成为我们的忠实粉丝，在那里我们会遇到所有这些数感所促进的促进数感的计算策略。

我们将从学习一些创新的加法策略开始，我可以保证你会喜欢它们的创造性和直观性。这里有一个提示：你有没有想过你可以用磁片来教一加一？
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问：我看到了位值垫和位值指令背后的推理，但它不是比我现在教的复杂得多吗？
A：这是我经常问的一个问题，我喜欢用蚱蜢和蚂蚁来回答。众所周知，蚱蜢想尽其所能在阳光下玩耍和享受，而蚂蚁则每天都在工作、计划和储蓄。是的，蚂蚁有一段时间的闲暇时间减少了，但是当冬天来临时，蚂蚁可以休息和放松，而不会耗尽食物或庇护所。

这比你想象的更像新加坡数学。看，传统的算法数学带我们走了很长一段路，它通过记忆、借用和携带以及其他技术使我们在相对较短的时间内从具体到抽象或直接进入抽象。我们跳过了这三者的分层，新加坡数学取得了最大的成功。

所以有一种看待它的方式，传统的算法数学就像蚱蜢一样——做它现在需要做的事情，而不用担心未来。新加坡数学就像一只蚂蚁——有时现在看起来需要付出更多的努力，但在未来和学生的一生中，收益要大得多。

是的，您现在可能会发现新加坡数学的位值教学更加复杂，这肯定会是思维上的转变。哎呀，此刻它甚至可能看起来令人费解和困惑。但我会要求您耐心等待，一步一步地跟随我，因为我们将这个数感基础构建成坚实、实用的计算策略。

我们要慢慢来，在每一个关头，我都会把我们现在所做的事情与之前所做的事情联系起来——就像新加坡的数学老师所做的那样。回报是非常值得的。

问：如果我向学生展示位值盘是如何移动到垫子上的，这会成为学习图吗？他们不是自己做的，所以不是具体的，对吧？
答：你说得对。如果您只是向学生展示磁片如何在垫子上移动（而不是让他们自己动手），那么您正在使学习更加形象化。这是让他们使用垫子和让他们在没有操作符或图片的情况下理解数字之间的一个很好的过渡。

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补充材料
点击制作位值垫、圆片和条带模板
想为学生制作自己的地价垫、磁盘和条带吗？以下是执行此操作的模板 - 请注意，磁盘和条带有彩色和黑白版本。您可以在您喜欢的任何彩色纸上打印您的垫子。
注意：对于第一项和第三项，请向下滚动页面至标题“Place Value Disks and Strips”。
位值条
位值垫
位值片
现在，我强烈建议您打印一张用于本课程的垫子。继续并对其进行过膜层压，然后在需要编写计算公式时使用干擦记号笔在其上书写。
然后，您可以保留磁片原样或将它们层压。无论哪种方式，您都将拥有一个可重复使用的垫子和磁片组，而不是在我们使用它们的每节课开始时打印它们。

新加坡数学与 Char Forsten 合作

我的一位同事 Char Forsten 制作了一个很棒的视频来演示位值计算。看一眼！

1.一根豆棒上有多少颗豆子？
A.1
B.5
C.100
D.10
答案：D

2.位值垫上有哪三列？
A.视觉、听觉和动觉。
B.单人、双人和三人。
C.具体的、图像的和抽象的。
D.一、十、百。
答案：D

3.位值条有什么作用？
A.让您使用棒来表示数量。
B.让您使用磁盘来表示数量。
C.让您在图层中组合数字。
D.让你用分数建立方程。
答案：C

4.向学生教授位值的好处之一是什么？
A.它使他们无需进行计算。
B.它建立了现实世界的资金管理技能。
C.它可以帮助他们练习在头脑中做数学。
D.它强调加法是所有计算的根源。
答案：B

5.哪个是分解数字或等值equation的示例？
A.349.
B.3×12。
C.1.
D.(300) + (40) + (1) = 341。
答案：D

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加法策略 - 第一部分
介绍
您对开始我们关于计算策略的第一堂课感到兴奋吗？我也是！凭借我们在数感方面的扎实基础，我们可以研究相互补充的计算策略以及分层数感和位值指令。这是有趣的部分。

我们将开发许多创造性的、有目的的和有趣的策略来帮助学生轻松地通过数学计算。认为这不可能是真的？这是！我永远不会忘记一位名叫 Ynez 的学生——她向我展示了它的真实性。到了做基本加法的时候，她挣扎又挣扎，每次我们拿出数学书时，她都畏缩不前。看，这个问题早在几年前就开始了。

她的幼儿园老师没有注意到 Ynez 无法完成基本的数数或数感练习，并一直在指导她。一年级时，她的班级做了很多数学小组作业，所以 Ynez 的困惑在翻译中消失了，因为小组中的某个人通常能找出正确的答案。当我在二年级时遇到她时，她在学习数学的时候已经很不适应了。不得不做她没有信心的工作让她很沮丧。谁能责怪她？

通过重新教授 Ynez 和其他一些学生一些关于结合和位置价值的基础知识，我开始看到一些小的变化。 Ynez 开始了解 1-9 和 10 的组合是什么，她慢慢地明白，任何超过 9 个 1 的磁盘都会产生 10，也许还剩下一些 1。几个月后，伊内兹可以在心里解出一个方程式。

这是新加坡数学数学的巨大天赋：当需要做越来越复杂的方程式时，它会留下自信的遗产。

所以今天，我们将从新加坡学习三种建立信任的附加策略。看看新加坡的加法进程。

看看我们的数感和位值指令在加法过程的开始是如何的？它确实为接下来的一切奠定了基础——我不是在取笑！请记住，加法过程中的所有策略都是学生可以选择的工具。没有规则说您必须为这些问题使用位值垫并为这些问题使用分支。相反，我们教给学生各种策略，他们可以将这些策略添加到他们的问题解决工具包中。他们可以为他们解决的每个特定问题选择他们喜欢的任何策略。新加坡数学：让学生坐在驾驶座上！

• 首先，我们从具体的数感活动开始，例如数出插图或糖果。

• 接下来，我们开始用具体的活动来链接bonding，比如将糖果组分解成它们的部分。

• 然后我们开始用图片链接，比如数字链接故事。

• 接下来，我们继续放置位值垫，我们使用位值指令来分解数字，就像我们在之前文中所做的那样。

• 然后，我们使用位值垫来解决基本的加法问题。我们从不需要进位的加法问题开始，但我们会转向进位数量的加法问题。

• 接下来，我们继续进行链接bonding，我们用抽象方法进行基本计算，尽可能使用数字和绑定bonding。我们从不需要进位的加法问题开始，但我们会转向需要进位的加法问题。

• 然后，我们继续用抽象的方法从左到右的加法计算，我们以扩展的形式解决问题。

• 最后，我们继续进行传统的垂直加法计算，我们使用心算和简单的符号来解决问题。

很快，您的 Ynezes 将通过可靠的计算策略展示他们的数学肌肉，使数学变得简单而有益。

由于我们已经建立了基础，我们将通过使用位值垫来添加一位数，然后移动到多位数来开始我们的加法指令。最后，我们将学习在垫子上添加数字时进位数字。当我们深入研究这些策略以及遵循它们的策略时，您会发现您的信心呈指数级增长。

现在让我花点时间解释一下我将如何在课程中教授这些加法策略和所有其他计算策略。从现在开始，每节课都有一个特定的结构。当然，我们将从介绍开始。在本章中，我还将提供一个pdf链接，您可以下载所需的任何材料（如垫子和磁片）。这是本课的内容。请继续打印七个垫子和一组磁盘（或者如果您已经层压垫子和打印磁片，您可以使用带有干擦记号笔的那些在垫子上书写）。


然后，我们将遇到在之前章节中提到的一种计算策略。因此，我们将在每一章中以一个问题（如 2 + 30 =）开始，然后我们将学习一种新加坡策略我们可以用它来解决它。

当然，按照成人的标准，我们所解决的数学问题将是简单的问题，但它们有多难并不重要——我们专注于学习解决它们的策略。但好消息是，当您将这些策略应用于各种计算时，它们会非常有效。在每章结束时，您将学习计算策略并有机会将其付诸实践。

例如，在本课中，我们将使用三种不同的策略来解决三个加法问题。您将学习并练习这些策略，然后您将有机会将它们应用于新问题。

因为在学习新加坡数学策略时练习它们非常重要，所以我在每一章的末尾都包含了一个额外的问题供你尝试。这将类似于我们在本章中解决的问题，并将为您提供一种快速简便的方法来立即加强您的学习。我还为您提供了解决此问题的方法，因此您可以随时对照我的工作检查您的工作。你会喜欢的！

在每节课结束时，您将尝试并练习三种新的计算策略，您可以自信地与学生分享。然后我们将在之后的章节里进行总结，在那里我们将回顾所有这些新策略，并考虑在将它们带回给您的学生时需要考虑的一些要点。

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使用一位数加数的位置值矩阵加法
好吧，您已经练习了在位值垫上分解数字。但是你还能用这些多功能工具做什么呢？好吧，我们将看到磁片和简单的三列垫子使加法变得生动起来。位值垫是加法策略的绝佳背景，您可以将它们用于解决任何加法问题。

今天，我们将从一个简单的加法问题开始，学习如何分解每个加数或加法部分。一旦我们分解了我们的加数，我们将把每列中的总磁盘数相加得到我们的总数。

让我们从一个不需要进位的简单问题开始，这是一种奇特的说法，即它的加数在个数列中不等于 10 或更多，在十列中不等于或多于 100。如果它们的总数为 10 或更多，我们将不得不用10个1的磁片交换一个10的磁盘，这为该过程增加了另一个元素。（这就是我们下一课的内容！）所以我们会保持简单——不要进位。

我们会遇到第一个问题吗？
问题 1
3 + 4 =

现在，我知道你在想什么——简单！ 7. 但我们不要认为我们自己的数字感是理所当然的。 相反，我们将使用位值垫添加来解决这个问题。 那么当我们给学生这样的问题时，我们做的第一件事是什么？
给他们一个垫子和尽可能多的磁片来解决问题。 对于此活动，您可以从下面的链接中打印您自己的位值垫和磁片。 如果您已经为自己对垫子封塑了，那么您就可以做尽可能多的问题。 但是，如果您还没对垫子封塑，您需要为我们处理的每个问题打印不同的垫子，以便您可以在上面写下数字。 毕竟，和文字一起练习是很棒的。
所以让我们把垫子和磁片放在我们面前。

在这里，我们有我们的磁片和我们的等式方程。 让我们将等式写在个数列的右侧，以便在使用磁盘时牢牢记住它。 这是一个很好的做法——如果你总是把你的方程放在这里，当你使用你的磁盘时，你就会把它们放在附近。
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接下来是什么？ 好吧，是时候将我们的第一个加数（在本例中为 3）放在位值垫上。 为什么不单击并将三个 1 磁盘拖到下面垫子上的那些列？

接下来，我们可以将第二个加数放在垫子上（在本例中为 4）。 我通常要求学生在每列的两个加数之间放置一个手的宽度。 继续将四个 1 磁盘拖到三个 1 磁盘下方。

您的垫子现在应该在个数列的顶部有三个 1的磁片，在个数列的底部有四个1的磁片。 接下来，是时候计算一个位置有多少个了。 学生可以用他们的大脑来解决这个问题，我总是鼓励他们在精神上做到这一点。 最终，他们将很容易快速计数。

（还记得那个分层吗？在这里，又开始工作了。）

我数了七个磁片。 你呢？

一旦学生得到答案，我要求他们在栏的底部写下栏的磁片总数。 让他们将答案写在磁片堆顶部的问题中并圈出答案也是一种很好的形式。 这样，就不会混淆答案是什么了。 好用，嗯？

这节数学课很适合另一节课：为什么不介绍加法的交换性质呢？询问学生是否先将 3 或 4 放在垫子上是否重要。会影响结果吗？它会改变计算或磁片数量吗？没有！给学生一个尝试的机会。
然后，如果您想进一步扩展活动，请让学生写下他们的发现。它可以是年轻学生的简单句子或年长学生的完整段落 - 无论哪种方式，我们都有一个很好的分层添加策略。我们使用数感（我们知道 3 和 4 键组成 7）、计数技巧、具体材料、抽象方程和加法的交换性。不错不错不错！
以下是不需要重新分组的单个数字加数的位值加法步骤（阅读：它们的总数不超过 10 或更多）。
1.有一个地方价值垫和足够的磁片来解决你的问题。
2.将问题写在您的位值垫上或旁边，在磁片堆上方和列的右侧。
3.移动足够的磁片以等于您的第一个加数。
4.移动足够的磁片以等于您的第二个加数，如果它们在同一列中，则留出空间。
5.完全计算您的磁片，从个数列开始。然后在它们下方画一条线，并在每列的磁盘下方写下总数。
6.将总数推向原问题，并将其写为解决方案。来吧，把它圈起来。
那么，既然您已经有机会在不进位的情况下学习位值加法，您准备好自己练习了吗？我以为你可能是。继续使用这个虚拟垫子和磁片来解决这个方程，就像我们在课程中所做的那样。每当您在课程中看到这些虚拟垫子和磁片时，您都需要单击磁片并将其拖动到相应的列。完成后，单击以检查您的答案。

问题2：
2 + 7 =

我敢打赌你玩这个很轻松，不是吗？ 准备好后，继续前进！

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使用多位加数的位值垫做加法
您是否开始看到位值垫的多功能性？ 这真的是东西，不是吗？ 而我们才刚刚开始探索它的力量。 接下来，我们要解决一个稍微复杂一点的问题。 我们将尝试用两个不需要我们进位的多位加数来解决加法问题。

问题 3
10 + 15 =
与往常一样，我们需要确保在开始之前准备好适当的材料。所以我们需要我们的垫子、一些一个10的磁片和一些1的磁片。你可以和我互动地解决这个问题，或者你可以用你自己的垫子和磁片来做。这取决于你，但我假设你在课程中和我一起工作。

接下来，我们将继续在我们的垫子右侧，磁片堆上方写下我们的方程。

你知道接下来会发生什么，对吧？我们开始处理我们的第一个加数10。那么我们如何表示10？当然，用一个10的磁盘。让我们把它放在我们的十的对列中。

接下来，让我们留出一些空间，将我们的第二个加数放在垫子上。我们如何显示 15？带一个10的磁盘和5个1的磁盘。让我们将它们添加到我们的垫子中。

所以现在我们的垫子上应该有两个10的磁片和五个1的磁片。将每列中的加数放在一起，以便准确计算它们。让我们添加列，从 1 开始。为什么从那里开始？因为那时，如果我们需要进位（我们将在之后介绍），我们可以轻松地将 1 移动到 10。我们总是在我们的位值垫上从右到左工作！
我们有五个1和两个10，对吧？让我们合计每一列，在磁盘下方画一条线并写下每个数字。请记住，这是磁片的总数，而不是磁片的值。

这给了我们什么？25. 让我们把这个答案写在我们的问题上面并圈起来。

现在是再次向学生展示加法交换性质的好时机。我们可以从 15 开始，不是吗？有关系吗？让他们继续进行进一步调查。

因此，让我们继续回顾一下我们添加多位加数而不需要进位的方式。如果我们有一位数的加数，这些步骤与我们使用的步骤相同，但这次我们正在处理更多列。
1.有一个位值垫和足够的磁片来解决你的问题。
2.将问题写在您的位值垫上或旁边，在磁片堆上方和个数列的右侧。
3.移动足够的磁片以等于您的第一个加数。
4.移动足够的磁片以等于您的第二个加数，如果它们在同一列中则留出空间。
5.把你的磁片放在一起，数一数，在它们下面画一条线，然后在每列磁片的下面写下总数。
6.将总数向上推到原问题，并将其写为解决方案。圈起来。
很容易吧？你准备好自己练习了吗？我以为你可能是。
这是我们的问题。继续并单击磁片并将其拖动到相应的列。完成与他们的合作后，单击以检查您的工作。

问题4：
12 + 25 =

你是怎么做的？你想出37个吗？在我们接着将继续尝试需要进位的加法——所有这些都在垫子上。

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添加需要进位的数字
现在您已经更熟悉了位值垫以及我们如何使用它来解决加法问题，让我们更上一层楼。我认为您已准备好进行进位，我们将大量价值较小的磁片换成一两张价值较大的磁片。我们为什么要做这个？啊，这是个好问题。

简短而快速的答案是因为当我们解决我们的问题时，我们的位值垫上的每一列只能容纳一定数量的磁片。我们可以将所有我们想要的量分解到每一列中，但是当我们解决我们的方程时，我们必须是准确的数学家并进行整理。

在我们解决的时候，个列只能有9个磁片，十列只能有9个磁片，而百列只能有9个磁片。为什么？因为如果我们处理的数量大于这些，我们应该向上交易或进位以减少数量。如果我们有10 个，那真的是 1 个 10。12 个十实际上是一个 100 和 2 个十。那有意义吗？

假设我们在位垫上添加 16 + 17。我们放置磁片，然后准备将列总数相加。可是等等。我们的学生在这一点上知道 6 和 7 不会结合成 10 - 他们会用剩下的 3 得到 10。但是当个数列不能有两位数时，我们如何在个数列的底部有 13？看到困境了吗？

所以我们必须学会用我们的 13 个来换取一个 10 和 3 个，这样我们就不会在个数列中有两位数。我们如何做到这一点？我问学生我们是否有足够的数量来制作十个。如果是，那我请他们把10个磁片拿掉，换成 1个 10的磁片。我将一个10放在个数列中，然后我们讨论10在错误的位置值列中。接着我们需要把它带到正确的列。这让我们在个数列中留下了三个1的磁片。

看一看。


您是否看到这种方法如何同时加强联系、数感和地方价值？ 我们的分层课程又在起作用了。
当学生交换磁片并进位以进行加法时，他们会与他们正在使用的每个数字的值保持密切联系。 这是无价的。 所以让我们练习加法进位。 我们将做一个需要进位的简单个位数加法问题。

问题 5
9 + 8 =

什么是第一位的？ 我知道你现在知道了。 我们必须准备好我们的垫子和磁片，我们需要确保我们有足够的磁片来解决问题。 让我们给自己很多个磁片和几十个来解决这个问题。

一旦一切就绪，我们首先将我们的第一个加数放在垫子上。 现在让我们放9个。

接下来，让我们留出一些空间并在个列中表示我们的第二个加数。

所以我们已经代表了我们的数字。怎么办？好吧，还记得在我们把数字放在垫子上之后那个列不能容纳超过9个吗？所以我们必须整理进位。让我们用我们的数感来找出一个进位的好方法。

我们有足够的数量来制作一个10的磁片吗？是的！所以我们需要做一个10。我们从绑定天数知道 9 + 1 链接到 10，因此让我们取出前九个磁盘和从八的堆栈中一个磁片。我们将用这些来换取一张10的磁片。我一般把10个磁片放在ones一栏目，跟同学讨论能不能留在那里。他们总是很快告诉我一个10 的磁片不属于一个个列，然后我们将它移动到它在十的队列中的正确位置。


所以现在我们在垫子上显示了相同的值——我们只是以不同的方式显示它。我们在每列中都有正确数量的磁片。现在我们可以将我们的磁片放在一起，然后将每列的总数相加，从那些开始。
我们有几个？七！多少个十？一。那么我们对这个问题的回答是什么？17.

那么你觉得呢？进位并不难，是吗？这是我们遵循的基本流程。

有一个位值垫和足够的磁盘来解决你的问题。
将问题写在你的位值垫上或旁边，在你的磁片堆上方和那些列的右侧。
移动足够的磁片以等于您的第一个加数。
移动足够的磁片以等于您的第二个加数，如果它们在同一列中则留出空间。
问问自己，您是否有足够的 1 的磁片来制作 10。如果有，请将 10 个 1的磁盘绑定在一起，并在个数列中将它们换成 1 个 10 的磁片。询问学生是否可以将 10个磁片留在那儿，并帮助他们看到它必须移动到正确的位置——十列。然后问自己是否有超过 9 个 10 磁盘。如果是这样，用其中的 10 个换取 100 个磁盘，以此类推。当你这样做时，从右到左工作。
完成进位后，计算磁盘数量，在它们下方画一条线，然后在每列磁片下方写下总数。
将总数向上推到原问题，并将其写为解决方案。圈起来。
我知道所有这些进位一开始听起来令人生畏，但相信我，当我告诉你这很快就会过时。让我们继续尝试解决另一个问题，这次是多位数。所以这一次，我们必须将我们所知道的如何在垫子上放置多位值与我们的进位技能结合起来。

这是我们的问题。继续并单击并拖动磁片。移动完磁片后，问问自己是否需要进位。如果是这样，请继续，然后单击以检查您的工作。
问题 6
19 + 35 =


你是怎么做的？你有54个吗？我希望你开始像我一样喜欢这个位值垫。