新加坡数学教学策略：1-6年级的模型图

[khu]

乘法应用题：

介绍
你准备好做一些乘法了吗？我非常喜欢使用模型图来解决这些问题。现在你可能在想，“你到底为什么会对这件事如此热情？” 让我分享！

看，乘法模型图帮助学生理解一个单位的基值，这是代数思维的基础。当您的学生开始了解一个的价值以及它与更复杂的操作之间的关系时，这是一个美妙的时刻。那么让我们来看看它的全部内容。

今天我们要解决三种不同类型的乘法问题，从简单的问题转移到更复杂的、有多个操作的问题。但即使我们把事情搞混了，我们也可以依靠我们的七个步骤来引导我们找到正确的解决方案。

在我们开始之前，让我分享一些乘法模型绘制的黄金法则。这些今天会帮助你，他们明天也会帮助你的学生。

当一个问题说“有____倍”时，请仔细研究这意味着什么。一次将一个单元添加到您的单元栏，并在添加每个单元时与学生一起计算。（我称之为 计数方法 。例如，如果你有，“有 4 倍”，说，“好的，现在我们从 1 倍开始，因为我们的模型是相等的。现在我们添加 2 倍（一个单位栏）、3 倍（另一个单位栏）和 4 倍（第三个单位栏）”，这样他们就可以看到每个单位如何制造“尽可能多”。

如果我们不这样做，学生可能会看到“4 倍”，并认为他们在基本单位栏中添加了 4 个单位。那会歪曲答案。

对于乘法问题，首先绘制一个较小的单位条通常会有所帮助。这样，您可以添加它。
计算是您可以区分模型绘图的地方，允许学生以对他们来说最容易的方式获得答案。
检查以确保模型反映了句子。当您遇到更复杂的问题时，这一点变得尤为重要。
既然您已经掌握了最好和最聪明的乘法技巧，让我们深入研究一个简单的混合运算乘法问题。

Problem 1
Ryan had 4 times as many marbles as Jordan. If they had 60 marbles altogether, how many marbles did Ryan have?

Problem 2
Monica had 3 times as many pens as Griffin. If they had 220 pens altogether, how many pens did Monica have?

Problem 3
A ribbon that's 1,530 inches long is cut into two pieces. The length of one piece is 2 times the length of the other. What is the length of the longer piece?

Problem 4
A piece of fabric that's 1,640 feet long is cut into two pieces. The length of one piece is 3 times the length of the other. What is the
length of the longer piece?

Problem 5
Mike had 3 times as much money as Steve. Dick had 2 times as much money as Steve. If Dick had $98.00, how much money did Mike have?

Problem 6
Jamilla had 2 times as many vacation days as Barb. Perry had 3 times as many vacation days as Barb. If Perry had 36 vacation days, how
many vacation days did Jamilla have?

Problem 7
Andrew had 4 times as many action heroes as Zach. If Zach had 6 action heroes, how many action heroes did they have altogether?

[khu]

解决简单的混合运算乘法应用题

我们将从一个关于弹珠的问题开始轻松愉快地开始。还记得任天堂出现之前孩子们玩的那些小玻璃球吗？一场好的弹珠游戏可以带来很多乐趣，我们将看看我们是否不能让这个关于它们的应用题也变得有趣。

让我们继续阅读我们的问题，您可以在下载的问题表 1 中找到该问题。

问题 1
瑞恩的弹珠数量是乔丹的 4 倍。如果他们总共有 60 颗弹珠，瑞恩有多少颗弹珠？

所以现在我们已经阅读了我们的问题，是时候找出我们的变量了。马上，我们就知道这个问题是按顺序讨论瑞恩和乔丹的。
让我们写下我们的回答声明。
瑞恩有_____个弹珠。
现在让我们把他们的名字写在纸的左边。

所以现在我们已经弄清楚了我们的 whos ，让我们来谈谈 what 。在这个问题中我们唯一要处理的是弹珠，所以默认情况下，它必须是每个男孩的 什么 。让我们给每个男孩他的弹珠。


好的。我们已经设置了变量，所以现在是时候绘制我们的单位条了。让我们为每个男孩做同样的事情。这里有一个有用的技巧：不要让你的单位条用乘法太长；您经常需要向它们添加单位。有时学生喜欢画很长的单位条来开始。虽然这对于许多加法和减法问题都很有用，但有时会给其他操作带来麻烦。对于我们遇到的每种类型的问题，我会确保为您提供有关单位条长度的提示。


现在我们有了相等的单位，让我们修改它们以适应这个问题。我们将一次获取一条信息。让我们再读一遍我们的第一句话。“瑞恩的弹珠数量是乔丹的 4 倍。” 所以这告诉我们我们需要在他的栏上添加更多的单位，不是吗？

让我们好好利用这种计数技术。

所以一旦我们添加完我们的单位，Ryan 的栏应该是这样的。


我们还能从我们的问题中学到什么？好吧，下一条信息是，男孩们总共有 60 颗弹珠。那么我们如何用单位条来反映这一点呢？
你猜对了——我们需要将该数量添加到两个条的右侧。


现在，如果我们继续阅读，我们将得到我们的问题。这意味着我们已经做出了所有可以做出的调整。所以现在是时候进入第五步并放置我们的问号了。我们在这里想知道什么？男孩们总共有多少颗弹珠？没有！我们已经知道了。乔丹有多少颗弹珠呢？不，我们也不需要这些信息。问题是要求我们计算出 Ryan 拥有的弹珠数量。

那么我们把问号放在哪里呢？就在他的单位之后。


现在是我们计算的时候了。我们知道所有这些单元加在一起可以制造 60 个弹珠。但我们需要知道 Ryan 的单位总数。这意味着我们必须弄清楚一个单位等于多少，以便我们可以乘以它来找出 Ryan 拥有的弹珠数量。让我们来看看。


所以现在我们可以看到 Ryan 有 48 个弹珠。这就是我们的句子。


做得好！现在是时候练习这样一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 2。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 2
莫妮卡的笔数是格里芬的 3 倍。如果他们总共有 220 支笔，莫妮卡有多少支笔？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。


嗯，你是怎么做的？来本课的讨论区告诉我吧。接下来，我们将讨论一个稍微复杂一点的乘法问题。我会给你一个提示——这将涉及剪刀和丝带。

[khu]

解决更多混合运算乘法问题
现在我们要解决另一个混合运算乘法问题。这一次有点不同——我们将把一件物品分成两块不均匀的块，看看每块的尺寸。这些是学生（以及老师和家长）在家庭作业中经常担心的问题。

但真的没有什么好害怕的。让我们看看为什么。我们需要做的第一件事是阅读我们的问题。您可以按照问题表 3 进行操作。

问题 3
一条 1,530 英寸长的丝带被切成两块。一件的长度是另一件长度的2倍。较长的部分的长度是多少？

现在我们已经阅读了它，让我们编写我们的答案声明。

较长的丝带的长度是________长。

现在我们需要弄清楚我们的变量。嗯，这有点令人困惑，不是吗？我们似乎没有 谁 。还是我们？就在我们认为一切顺利的时候，我们的人消失了！ 但这次我们的 whos 不是字面上的 who ，而是 更长和更短的部分。让我们按照这个顺序写下来。


但是碎片是什么？这是个好问题。在这个问题中，它们是丝带的碎片。所以让我们添加我们的 whats 。


我们已经弄清楚了我们的变量。是时候画出我们相等的单位条了。


在这里，我们处于有趣的部分，我们将问题信息分块并调整我们的单位栏。因此，让我们一次一点地解决我们的问题。我们了解到的第一件事是色带的总量是 1,530。所以我们需要马上证明这一点。我们怎么能做到这一点？


现在让我们再读一点。我们知道一件是另一件长度的 2 倍。因此，较长的部分是较短部分的两倍。这是否意味着我们在已有的单位栏中添加了两个单位？没有！请记住，我们从等量开始。所以要显示两倍的数量，我们添加多少个单位条？

没错——还有一个。让我们继续把它延长两倍，这样它就可以很好地代表实际问题。


如果我们继续阅读，我们会偶然发现我们的问题，这意味着我们已经完成了调整并准备好了我们的问号。它属于哪里？好吧，问题是问我们较长的丝带的长度。那么为什么不把它放在那个单位栏之后呢？


是时候计算了！我们想从我们所知道的开始，即所有这些单位（其中三个）加起来等于 1,530。让我们看看事情会如何发展。


剩下要做的就是将我们的句子添加到末尾。我们现在要写吗？


做得好。看？那一点也不可怕。现在是时候练习这样一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 4。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 4
一块 1,640 英尺长的织物被切成两块。一件的长度是另一件长度的3倍。较长的部分的长度是多少？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。


看看你在短短几周内走了多远。太棒了！在下一章中，我们将解决一个更加复杂的混合运算问题，其中包含三个 whos 和大量的乘法运算。

[khu]

三个Whos 的混合运算乘法问题
不要让标题吓到你——接下来，我们要解决乘法问题的爸爸。三个 谁 和很多钱！你准备好了吗？

请按照问题表 5 进行操作。让我们阅读问题。

问题 5
Mike的钱是Steve的 3 倍。Dick的钱是Steve的两倍。如果Dick有98.00美元，Mike有多少钱？

现在我们已经阅读了我们的问题，让我们写下我们的答案陈述。

Mike有________。

现在我们需要弄清楚我们的变量： Who 和 What 。我们在说谁？好吧，在这种情况下，我们有Mike、Steve和Dick。现在让我们写下他们的名字。


我们谈论的是每个男孩的钱。所以让我们把它写在名字旁边。


我们的下一步是绘制这三个相等的单位条。我们不要把它们画得太大，因为我们可能不得不添加它们。


是时候进行有趣的部分了——调整我们的单位栏以匹配这个问题。让我们将我们的信息分块并找出去哪里。第一句话告诉我们，Mike的钱是Steve的 3 倍。这是一个快速检查。我们画两个额外的单位条还是三个？我希望你说两个。让我们现在添加它们。


接下来，我们看到Dick的钱是Steve的 2 倍。所以让我们也调整他的单位栏。


然后我们得知Dick有 98.00 美元，所以我们必须包含该信息。我们应该把它放在哪里？没错——在他的单位栏的末尾。


然后我们开始了我们的问题：Mike有多少钱？所以这意味着我们已经完成了所有的调整，是时候打上问号了。你认为它应该去哪里？如果你说，“在Mike的单位栏之后”，你是绝对正确的！


好的，我们已经准备好解决我们的计算了。这个应用题在我们的模型绘制过程中少了很多，不是吗？让我们通过使用我们所知道的来开始我们的计算。Dick总共有 98.00 美元，这分为两个单位酒吧。所以我们需要将 98.00 美元分成两半来计算一个单位等于多少。多步计算，我们来了！


我们有它。如果您使用重组，则除法、乘法甚至一些加法都会被抛出。现在让我们写下我们的最后一句话。


做得很好！用这种方式做复杂的应用题其实很有趣，不是吗？现在是时候练习这样一个问题了。如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 6。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 6
Jamilla 的假期天数是 Barb 的 2 倍。Perry 的假期天数是Barb 的 3 倍。如果佩里有 36 个假期，Jamilla有多少个假期？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。

我喜欢这七个步骤让这些问题变得多么容易，不是吗？

[khu]

概括
你在克服所有这些乘法挑战方面做得很好。我们已经接近课程的中途了，您已经准备好应对遇到的任何模型绘图挑战。

今天我们发现了几种不同类型的乘法问题，从简单的到混合运算的。我希望您在我们进行的过程中喜欢这些图片，并充分利用我们的讨论区。我真的很喜欢在那里和你聊天！

下一次，我们将继续讨论乘法的快乐表弟，除法。我们今天已经使用它进行了一些工作，但还有更多内容。到时候那里见！

问：当我的学生必须弄清楚“3 倍”或“4 倍”时，他们真的很难理解问题在问他们什么。除了计数方法，你能告诉我解释这个概念的任何其他提示吗？
答： 好问题！这是一个具有挑战性的话题。这也是一个动手课程的好地方，学生可以在他们面前实际看到这个概念。带上一堆纸盘（塑料杯或空水瓶也可以），向学生展示这组物品。

然后让两个学生走到全班前面。一名学生（我们称他为 Alan）获得 1 个盘子。另一个学生（我们称她为 Wendy）得了 5。现在，拿一个大的魔法记号笔， 在 Alan 的盘子上写下 1 倍 的数字。（这在语法上不太正确，但如果你保持语言与更大数量的语言完全相同，它会对学生有所帮助。）

然后把温迪的盘子排好。在第一个，写 1 倍的数量 。在第二个，写 2 倍的数量 。第三，你猜对了： 3 倍 。第四，写 4倍 。第五，写 5倍 。

现在向学生展示他们可以看到的 5 倍，总共等于 5 个盘子。但是，如果你拿走了温蒂的一些盘子，而她和艾伦每人只有 1 个，那么你需要给温蒂多少才能让她得到 5 倍的盘子？4！
所以单位总数等于“倍数”之前的数字。你再加一个就可以了。
您会惊讶于您的学生在视觉帮助下适应这种思维的能力。

乘法题
这里有一些额外的乘法应用题可以尝试。 玩得开心！

作业：
Andrew的动作英雄数量是Zach的 4 倍。 如果Zach有 6 个动作英雄，他们一共有多少个动作英雄？


===
小测验：
所有五个测验问题请参考此问题。
Gwen 的贴纸数量是 Kendra 的 3 倍。如果他们总共有 620 张贴纸，那么 Gwen 有多少张贴纸？

1. 这个问题的变量是什么？
A. Gwen的邮票和Kendra 的贴纸。
B. 旧贴和新贴。
C. Gwen 的贴纸和 Kendra 的贴纸。
D. 给出的贴纸和采取的贴纸。
答案：C

2. 在给定的选择中，以下哪一项是最好的选择，可以将值分配给该问题的各个单元？
A. 单位栏外。
B. 贴纸里面。
C. 所有单位栏的括号右侧。
D. 在单位栏的左侧。
答案：A

3. 我们调整后的单位栏应该是什么样子？
A.

B.

C.

D.
答案：D

4. 我们把问号放在哪里？
A. 就在Kendra 的单位栏之后。
B. 就在Gwen的单位栏之后。
C. 就在值 620 之后。
D. 就在单位栏之前。
答案：B

5. 我们应该使用什么计算？
A.
4 个单位 = 620
1 个单位 = 210

B.
4 个单位 = 620
1 个单位 = ?
620 ÷ 4 = 155
1 个单位 = 155

C.
A. 5 个单位 = 620
1 个单位 = ?
620 ÷ 5 = 124
1 个单位 = 124

B. 1 个单位 = 124
4 个单位 = ?
124 X 4 = 496

D.
A. 4 个单位 = 620
1 个单位 = ?
620 ÷ 4 = 155
1 个单位 = 155

B. 1 个单位 = 155
3 个单位 = ?
155 x 3 = 465
答案：D

[khu]

除法应用题
介绍
信不信由你，除法问题可能是学生最棘手的问题！但不会持续太久。通过我们在今天课程中讨论的策略，你很快就会有能力引导学生轻松解决各种除法问题。看到学生开始真正理解他们正在做的数学真的很高兴。
与往常一样，我们将从一个简单的问题开始，然后逐步解决更复杂的多操作问题。我们还将学习做一个复杂 的前后问题 的细节 ，这是那些你有前提的棘手问题，有些东西发生了变化，然后你必须使用两组信息来解决。
但在我们超越自己之前，让我分享关于除法问题的两个非常重要的秘密。
对于这些问题，我们通过将一个长的单位条分成几个部分来显示我们的单位。例如，如果我们有一个等于 10 的单位，并且问题要求我们将其分成两半，我们将通过中心画一条垂直线来显示两半。
如果问题要求单位栏的某个部分的值，请继续将问号放在栏的该部分内。
既然你知道了划分模型绘制的黄金法则，我们就开始吧！
Problem 1
28 chairs are arranged equally in 4 rows. How many chairs are there in each row?
Problem 2
18 cookies are arranged equally in 6 piles. How many cookies are there in each pile?
Problem 3
A man divided his fortune of $92,000 into 8 equal parts. He gave 4 portions to his wife, 1 portion to his son, and divided the rest equally
among three charities. How much more money did the wife receive than the son?
Problem 4
A woman divided her collection of 1,200 books into 10 equal parts. She gave 3 portions to her husband, 4 portions to her daughter, and the rest equally to three nieces. How many books did her daughter receive?
Problem 5
Eric had 3 times as many cookies as Sean. After Eric ate 50 cookies, he had half as many cookies as Sean. How many cookies did Eric have left?
Problem 6
Brenda had 3 times as many dresses as Cathy. After Brenda gave away 75 dresses, she had half as many dresses as Cathy. How many dresses did Brenda have left?
Problem 7
Alex spent $45.00 on glasses. A box of 10 glasses cost $9.00. How many glasses did Alex buy altogether?

部分整除问题
今天我们要体验第一次！我们要解决的问题实际上并没有 who 。更重要的是，它不需要谁。有时，除法问题会发生这种情况，尽管通常在模型绘图中这种情况并不常见。
让我们阅读我们的问题。您可以按照问题表 1 进行操作。

问题 1
28把椅子平均排成4排。每排有几把椅子？

到目前为止，一切都很好。现在我们已经阅读了我们的问题，让我们写下我们的答案陈述。

每排有 ____ 把椅子。

现在是时候确定我们的变量了。在这个问题中，我们有什么？我们有椅子。所以让我们把它写成 页面 左侧的内容。


没有 who 有点奇怪 ，不是吗？但是向学生解释简单的除法问题，例如这个问题，通常没有 who 是有帮助的 。棘手，我知道。现在我们已经弄清楚了我们的变量，让我们绘制我们的单位栏。通过除法，我们希望学生为他们的单位条画出漂亮的长矩形。这使得以后很容易将它们分成几部分。

这是我的。


现在我们需要对问题信息进行分块并进行一些调整。幸运的是，这应该不会太难。第一句话的第一部分告诉我们，我们总共有 28 把椅子。那么我们如何处理有关单位总数的信息呢？我们将它放在受影响的条形或条形的右侧。我们开始做吧。


接下来是什么？好吧，如果我们继续阅读，我们会看到我们必须考虑 4 排椅子。那么我们该怎么做呢？好吧，想要添加单位条很诱人，但是对于除法，我们总是在除以我们拥有的单位，而不是添加更多的单位（就像我们对乘法或加法所做的那样）。

我们如何将这个单位栏分成 4 行？


这些是相当平等的，不是吗？帮助学生使他们的划分尽可能相等的一个技巧是让他们在划分为 2 的倍数时从中间开始。比如这个单位条，我先把它分成两半，然后再把它分成四等分。这是一个精确的好方法！

所以现在我们的 4 排有 28 把椅子。我们已经提出了我们的问题，这意味着我们必须计算出每排椅子的数量。因此，让我们继续在其中一个单元中打一个问号。哪一个都没关系；他们都是一样的。


有我的。现在是时候进行我们的计算了。我们需要与四个小组平等地分享我们的椅子。让我们从我们所知道的开始。. . .

我们知道总数是 28，并且我们知道我们需要在每组中使用相同数量的这些椅子。最有可能的是，我的学生会拿整个 28 人，一次把它分成四把椅子。例如，他们会在四个小组中的每一个中放置一把椅子，然后回到整个小组，看看是否还有另一组四人小组可以拿走。他们会这样做，直到没有更多的椅子，或者少于四人的小组可以带走。

这是许多学生第一次遇到除法题时会做的事情。我将在课程中演示这一点。有的同学可能会直接去除法计算！

[khu]

这里有两种不同的方法可以帮助您的学生进行计算：
第一种方法： 使用心算策略除以 4。将被除数分成两半，然后再分成两半。
例如，100 除以 4。首先，一半 100 得到 50。然后，一半 50，你得到 25。
这是另一个例子：60 除以 4。首先，一半 60 得到 30。然后，一半 30 得到 15。
现在，让我们计算 28 除以 4。28 的一半得到 14，然后 14 的一半得到 7。
第二种方法： 使用分配属性将 28 除以 4。在此示例中，您将 28 分成可被 4 整除的两部分。
例如，您可以将 28 分解为 20 和 8。然后，将 20 除以 4 得到 5。再将 8 除以 4 得到 2。最后，将部分商相加得到 7。
这是另一个例子：我们用 32 除以 4。将 32 分解为 20 和 12。20 除以 4 等于 5，12 除以 4 等于 3。最后，将部分商 5 和 3 相加得到 8。
说得通？
现在让我们为我们的问题写下最后一句话。



做得好！现在是时候练习这样一个问题了。如果您打印了本课程的下载文件，请参阅习题表 2。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 2
18块饼干平均排成6堆。每堆饼干有多少？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。

[khu]

部分-整除词题
你准备好迎接更多挑战了吗？但愿如此！现在是时候解决一个稍微复杂一点的问题了。是时候谈论财富了！请按照问题表 3 进行操作。

让我们首先阅读我们的问题。

问题 3
一个人将他 92,000 美元的财产分成 8 等份。他将 4 份给了妻子，1 份给了儿子，其余的则平均分配给了三个慈善机构。妻子比儿子多收多少钱？

啊，我们又回到了 whos 的问题 ！是不是很清爽？所以让我们弄清楚我们在谈论谁和什么。在这个问题上，我们有很多玩家。有那个男人，他的妻子，他的儿子，还有那些经营慈善事业的人。哎呀。那么你认为我们这个Who 应该是谁？
好吧，这里是学习更多关于除法问题的好地方。这个问题与 整体的部分 或构成一大笔钱的个别部分有关。对于这样的问题，我们不需要为每个“工件架piece holder.”绘制单独的单元条。相反，我们必须暂时屏蔽这些信息，这样我们才能弄清楚部分与整体的关系。
在这个问题中，我们真正需要知道的是男人的财富的一部分等于多少。这笔财富属于妻子或儿子或任何人的事实并不像这件作品是整体的一部分这一事实那么重要。
这意味着我们的是Who 。


而我们 的 ，当然是他的财富。让我们现在把它写进去。


所以在这个问题中，我们正在处理一个人和他的钱。这很熟悉，不是吗？现在我们只需要弄清楚每个部分都等于什么。

让我们从我们的回答声明开始。

妻子比儿子多得到_______。

让我们继续画一个长的单位条来代表财富。


在这里，我们处于有趣的部分。是时候对我们的问题信息进行分块了（而且有很多，不是吗？）并调整这个大单位栏。让我们从头开始。我们了解到的第一件事是，这笔财富等于 92,000 美元。那么我们可以把它放在哪里呢？

如果你在想，“在单位的右边”，你是对的！或者，您可以将其放在括号中的顶部。


我们得到的下一条信息是，这个人将他的钱分成了 8 种方式。这意味着什么？是时候用这些垂直线来划分单位栏了。我们需要多少件？8！


出色的！现在我们将这笔财富平均分配了 8 种方式。我们得到的下一条信息是这些相等的部分中有 4 份给了妻子。所以让我们现在给它们贴上标签。我将使用 W 表示它们是妻子的部分。


现在我们来看看儿子的 1 部分。让我们在一部分中放一个 S 来表示他的数量。


其他 3 部分用于慈善事业，所以让我们 在剩余部分中 添加 C。


好吧，我们来到了我们的问号。我们进行了所有的调整，剩下的就是找出那一小块标点符号的位置。我们可以把它放在妻子的一个单位里吗？不，它不适合那里。我们需要知道妻子收到的钱比她儿子多多少。那么在单元的最后呢？不，那也行不通。我们知道总量。

啊，所以我们遇到了另一个新的发展。在这样的问题中，问号不适合模型，我们将它放在模型的上方和右侧。当我们这样做时，我们指出问号代表什么。看一看。


现在我们准备解决我们的计算。让我们在下面做。与往常一样，我们想从我们所知道的开始，即 8 个单位等于 92,000 美元。有了这个基础，我们可以进行除法来计算 1 个单位等于多少。从那里，我们可以使用乘法和减法来计算妻子和儿子的钱之间的差异。


现在我们知道了一个单位的总数，我们需要完成我们的计算。我们还有一些操作。而且我们还注意到妻子和儿子之间的差异是三个单位。我可以很容易地找到一个单位的值，然后将该单位乘以三。


我们现在知道妻子和儿子的部分之间的区别，所以让我们完成我们的回答陈述。


优秀作品。你准备好自己尝试一个了吗？如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 4。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。
问题 4
一位女士将她收藏的 1,200 本书分成 10 等份。她把三份给了她的丈夫，四份给了她的女儿，其余的分给了三个侄女。她女儿收到了多少本书？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。

[khu]

除法前后问题
您正在轻松解决一些复杂的问题！花点时间为此感到自豪——学习一种全新的数学方法并不是一件简单的事情。接下来我们将解决令人生畏的前后问题，虽然在我们开始之前你可能会害怕它们，但在我们完成示例之后你会充满信心。我保证！

让我们从阅读我们的问题开始，您可以在问题表 5 中进行操作。

问题 5
Eric的饼干是Sean的 3 倍。Eric吃了 50 块饼干后，他的饼干是Sean的一半。Eric还剩下多少饼干？

现在我们已经阅读了我们的问题，让我们写下我们的答案陈述。

Eric剩下_____ 饼干。

我注意到 之后 的单词 在我的应用题中。这可以让我想起我可能想要设置两个模型（一个前模型和一个后模型），因为我的模型会改变。

是时候弄清楚我们的变量了。我们的员工回来了，在这方面看起来很正常，不是吗？所以在这个问题中，我们知道我们在谈论 Eric 和 Sean。现在让我们写下他们的名字。


现在我们在谈论 Eric 和 Sean 什么？没错——饼干。我希望它们是燕麦葡萄干；这些是我的最爱！让我们给每个男孩他的饼干。


到目前为止，一切都很好。我们的问题看起来很正常。现在让我们继续绘制相等的单位条。我要把它们画得小一点，因为我们不只是在这个问题上做直线除法；我们也有一些乘法。


做得好。现在是放烟花的时候了——我们问题中真正令人兴奋的部分就在这里。我们需要分块我们的问题信息，并根据这个问题告诉我们的内容进行单位栏调整。

对于第一部分，一切都会看起来很正常。但是，当我们得到问题中的后续信息时，我们将重复一些步骤并在下面绘制新的单位条。让我们从我们所知道的开始。Eric的饼干是Sean的 3 倍。所以让我们给他更多的单位条来反映这一点。还有多少？我希望你在想，“2！”


现在我们到达了问题的“之后”部分。当我们看到“之后”这个词出现时，我们就知道我们在那里。所以这意味着是时候在下面绘制另一组单位条来调整新信息了。现在让我们这样做。我们将照原样复制我们的信息，以便我们可以调整它。


现在问题的下一部分告诉我们，在Eric吃了 50 块饼干后，他的饼干是Sean的一半。所以Sean的单位在后面的部分没有改变，但Eric的单位会改变。Eric现在应该拥有Sean一半的单位。Sean 的单位是 Eric 原来 3 的三分之一。所以这意味着 Eric 现在应该有他原来单位的六分之一，或者 Sean 单位的二分之一。



你还在吗？所以现在单位栏应该是这样的。请记住，我们必须证明 Eric 吃的 cookie 的数量等于 50。所以顶部的五个单位等于 50。这是一个关键事实！

我们已经进行了调整，现在是时候添加我们的问号了。我们在这里需要知道什么？嗯，这是个好问题。我们需要弄清楚 Eric 还剩下多少 cookie。那么我们的问号去哪儿了？没错——在他的小单位栏旁边。


是时候进行我们的计算了。在这种情况下，我们想从我们所知道的开始，即 5 个单位等于 50。从那里，我们需要知道 1 个单位等于什么。


伟大的！是时候说我们的最后一句话了。


因此，回顾一下，前后问题只是一种比较棘手的方式来构建我们试图达到的划分。它涉及多组单位条，第二组（有时是第三组）建立在第一组信息的基础上。但是一旦我们知道如何解决这些问题，它们就很容易解决。

你准备好自己尝试一个了吗？如果您打印了本课的下载文件，请参阅习题表 6。如果没有，请将下面的问题复制到您自己的纸上。

问题 6
Brenda 的裙子数量是 Cathy 的 3 倍。在Brenda送出 75 条裙子后，她的裙子数量是Cathy 的一半。Brenda 还剩下多少件衣服？

完成解决后，您可以单击下面的图片将您的结果与我的结果进行比较。

[khu]

概括
您刚刚完成了我们课程的前半部分！你是模型图纸转换了吗？我希望您开始通过这种强大的、对学生友好的策略感到更加自在。它真的是多才多艺的！

今天我们解决了一些简单的除法问题和一些更复杂的问题。习惯那些超长的单位栏和其中的划分有点调整，但很快就会变得非常熟悉和容易。

如果您发现您的学生难以记住何时绘制长单位条和短单位条，那么指出正运算（加法和乘法）需要短条，而负运算（减法和除法）需要较长的条，这会有所帮助。在那些消极的操作中，我们经常用单位条工作，所以有一些额外的空间是有帮助的。

下一次，我们将解决每个人最喜欢的问题：分数。不，不，我只是在开玩笑。大多数孩子（和成年人）对分数应用题有点紧张。但我希望你能让我在之后的课中向你展示如何看到杯子是半满的。

问：我什么时候开始让我的学生自己解决更高级的问题？
答： 这是一个很好的问题。在我允许学生单独工作之前，我通常会为简单的问题建模至少花费三到四个星期。这给了我们所有时间来适应流程并共同解决各种问题。

请记住，如果学生遇到困难，您可以通过使用较小的数字来简化问题，并让他们在绘画之前使用操作工具进行构建。

当你做出这些判断时，让你的直觉指导你；通常，如果您认为学生已经准备好，那么他们已经准备好了。

问：您是否会让学生与合作伙伴或小组一起解决此类应用题？
答： 是的，这两项活动都是帮助学生成长为问题解决者的好方法。例如，合作伙伴可以一起写一篇论文来解决问题。在小组中，有很多方法可以改变常规。

以下是我最喜欢的一些想法：

让学生提出问题，解决问题，然后指导全班演示如何解决问题。
给学生一个答案（比如 28 把椅子），让他们提出一个问题。
给每组同样的问题，让他们在图表纸上解决。然后在房间周围张贴图表纸，以便学生观察每个小组如何解决问题。这是每个人都可以看到各种计算选择的好方法。
给每个伙伴或小组一个有错误的应用题。当学生遇到错误时，请他们调整问题，以便正确解决问题。
玩得开心！

Alex斯在眼镜上花了 45.00 美元。 一盒 10 个眼镜，每个售价 9.00 美元。 Alex一共买了多少副眼镜？

解决问题后，请通过查看下面的图片检查您的答案。

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小测验：
所有五个测验问题请参考此问题。
有 72 条鱼平均分布在 8 个不同的水族馆中。每个水族馆里有多少条鱼？
1. 这个问题的变量是什么？
A.水族馆。
B.钱。
C.72.
D.鱼。
答案：D

2. 在下面的选项中，我们在哪里写鱼的总数？
A.

B.

C.

D.
答案：A

3. 在下面的选择中，我们的单位栏在我们完全调整后应该是什么样子？
A.

B.

C.

D.
答案： A

4. 我们如何建立我们的方程式？
A. 8 个单位 = 72
4 个单位 = ?
B. 8 个单位 = 72
1 个单位 = ?
C. 8 个单位 = 72
1 个单位 = 8
D. 72 x 8 = ?
答案：

5. 我们的最后一句话应该读什么？
A. 有72条鱼。
B. 每个水族馆有 8 条鱼。
C. 每个水族馆有 9 条鱼。
D. 每个水族馆有 72 条鱼。
答案：C

补充材料
除法题
这里有一些额外的除法问题可以尝试。

部分商数
想要更多部分商数的例子吗？